Съдържание

Условие 2.1 Метаматериали в класическата оптика 2.2 Метаматериали в релативистката оптика Отговори Решение

НЕСФ 2013, Специална тема — Задача 2. Метаматериали

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2013

Национално есенно състезание по физика, Сливен, 16-17 ноември 2013 г. — Специална тема · 16 ноември 2013 г. · 10 т.

Условие

В последното десетилетие е модерно да се създават метаматериали – изкуствени материали, проектирани да имат свойства, които не са достъпни в природата. Типичен пример е материал с отрицателен показател на пречупване (например $n = -1$ ).

2.1 Метаматериали в класическата оптика

а) Начертайте ходовете на двата лъча от Фигура 1 и отбележете образите на източника A. [2 т.]

Две сиви квадратни области с показател на пречупване n = −1, разположени стъпаловидно — една горе вдясно и една долу вляво; останалото пространство е с n = 1. От точков източник A, разположен във вакуума над долната лява плоча, излизат два лъча, насочени надолу и наляво към горната граница на долната лява плоча. — Фигура 1

2.2 Метаматериали в релативистката оптика

Нека сега разгледаме отправна система $K'$ , която се движи с постоянна скорост $u$ спрямо неподвижна система $K$ . Нека скоростта $u$ да е насочена по оста $x$ и в момента $t = t' = 0$ началото $O'$ (начало на $K'$ ) да съвпада с началото $O$ (начало на $K$ ). Нека в точка от отправната система $K$ с координати $x, y, z$ в момента от време $t$ става някакво събитие. Координатите $x', y', z'$ и времето $t'$ на събитието, определени от наблюдател в $K'$ , са свързани в специалната теория на относителността чрез Лоренцовите трансформации:

t' = \frac{t - xu/c^{2}}{\sqrt{1-u^{2}/c^{2}}},

x' = \frac{x - ut}{\sqrt{1-u^{2}/c^{2}}},\quad y' = y,\ \ z' = z.

Две тримерни координатни системи с общи направления: неподвижната K с оси X, Y, Z и начало O, и движещата се K′ с оси X′, Y′, Z′ и начало O′, отместено надясно по общата ос X; скоростта u е насочена по положителната посока на X. — Отправните системи K и K′

Импулсът $P_x, P_y, P_z$ и енергията $E$ на частица в отправна система $K$ са свързани с импулса $P_x', P_y', P_z'$ и енергията $E'$ за наблюдател в $K'$ чрез Лоренцовите трансформации за импулс и енергия:

P_x' = \frac{P_x - Eu/c^{2}}{\sqrt{1-u^{2}/c^{2}}},\ \ P_y' = P_y,\ P_z' = P_z,

E' = \frac{E - P_x u}{\sqrt{1-u^{2}/c^{2}}}.

Приемете, че импулсът на фотон в среда с показател на пречупване n е p = n $\hbar\omega$ /c.

б) Използвайки Лоренцовите трансформации за импулс и енергия и разглеждайки фотона като частица с енергия $E = \hbar\omega$ , насочен под ъгъл $\vartheta$ спрямо оста $x$ , изведете релативисткия ефект на Доплер (връзката между честота $\omega$ за наблюдател в $K$ и честотата $\omega'$ за наблюдател в $K'$ ). [2 т.]

в) Нека средата има показател на пречупване $n = -1$ и нека имаме източник на светлина в отправна система $K'$ , който излъчва фотони с честота $\omega'$ , отдалечавайки се успоредно на наблюдател в $K$ . Намерете каква е честотата $\omega$ в отправна система $K$ . [0,75 т.]

г) Нека средата има показател на пречупване $n = -1$ и нека имаме източник на светлина в отправна система $K'$ , който излъчва фотони с честотата $\omega'$ , приближавайки се успоредно на наблюдател в $K$ . Намерете каква е честотата $\omega$ в отправна система $K$ . [0,75 т.]

д) Заредена частица с енергия на покой $E_0$ , движеща се праволинейно и равномерно със скорост $\left|u\right| > \left|c/n\right|$ през материална среда с показател на пречупване $n$ , става източник на светлина (ефект на Вавилов-Черенков). Като използвате законите за запазване на енергията и импулса, определете ъгъла $\vartheta$ , под който става това излъчване.

Упътване: Приемете, че енергията на излъчен фотон $\hbar\omega$ е много по-малка от енергията на покой на заредената частица ( $\hbar\omega/E_0\ \hbar\ 1$ ). Какво е направлението на излъчване на фотоните, ако $n > 0$ и ако $n < 0$ ? [2 т.]

е) В нелинейна кристална среда, която има показател на пречупване $n_\omega$ за честота $\omega$ и едновременно с това има показател на пречупване $n_{2\omega}$ за честота $2\omega$ , се раждат два фотона с честота $\omega$ при удара на фотон с честота $2\omega$ в един от възлите на кристалната решетка. Определете посоката на фотоните с честота $\omega$ спрямо посоката на разпространение на фотона с честота $2\omega$ , ако $n_\omega = 1$ , а $n_{2\omega} = -1$ .

Упътване: Приемете, че енергията на падналия фотон $\hbar\omega$ е много по-малка от енергията на покой на кристалния възел ( $\hbar\omega/E_0\ \hbar\ 1$ ), тоест считайте, че кристалният възел остава на място след удара. [2,5 т.]

Отговори

Решение

а)

Ходът на лъчите е даден на Фигура 1 [2т]

Същата конфигурация от две плочи с n = −1; двата лъча от източника A се пречупват при границите на плочите и се пресичат последователно в точките B (в долната лява плоча), C (във вакуума между плочите) и D (в горната дясна плоча). — Фигура 1 (решение) — ход на лъчите

б)

Тръгваме от Лоренцовите трансформации за енергията

E' = \frac{E - P_x u}{\sqrt{1-u^{2}/c^{2}}}\qquad \textbf{[0.25т]}

и заместваме $E = \hbar\omega$ , $E' = \hbar\omega'$ [0.25т], а импулса с $P_x = P\cos\vartheta = \dfrac{nE}{c}\cos\vartheta$ [0.5т] $\Rightarrow$

\omega' = \omega\frac{1 - nu\cos\vartheta/c}{\sqrt{1-u^{2}/c^{2}}}\qquad \textbf{[0.25т]},

където $n$ е показателят на пречупване, $\vartheta$ е ъгълът, под който наблюдател в $K$ вижда фотоните спрямо оста $x$ . $\Rightarrow$

\omega = \omega'\frac{\sqrt{1-u^{2}/c^{2}}}{1 - \dfrac{nu\cos\vartheta}{c}}\qquad \textbf{[0.75т]}

в)

При $n = -1$ и $\vartheta = \pi$ (източникът се отдалечава от наблюдателя в $K$ ) имаме

\omega = \omega'\frac{\sqrt{1-u^{2}/c^{2}}}{1-\dfrac{u}{c}} = \omega'\frac{\sqrt{\left(1-u/c\right)\left(1+u/c\right)}}{\sqrt{\left(1-u/c\right)^{2}}} = \omega'\sqrt{\frac{1+u/c}{1-u/c}}\qquad \textbf{[0.75т]}

Тоест имаме синьо отместване.

г)

При $n = -1$ и $\vartheta = 0$ (източникът се приближава към наблюдателя в $K$ ) имаме

\omega = \omega'\frac{\sqrt{1-u^{2}/c^{2}}}{1+\dfrac{u}{c}} = \omega'\frac{\sqrt{\left(1-u/c\right)\left(1+u/c\right)}}{\sqrt{\left(1+u/c\right)^{2}}} = \omega'\sqrt{\frac{1-u/c}{1+u/c}}\qquad \textbf{[0.75т]}

Тоест имаме червено отместване.

д)

Записваме закона за запазване на енергията заедно с релативисткия инвариант за енергията и импулса на частицата:

E_1 = E_\gamma + E_2 \Leftrightarrow E_2 = E_1 - E_\gamma

E_1^{2} = E_0^{2} + P_1^{2}c^{2},\ \ E_2^{2} = E_0^{2} + P_2^{2}c^{2}\qquad \textbf{[0.25т]}

където $E_1, P_1$ и $E_2, P_2$ са пълната релативистка енергия и импулса на частицата, съответно преди и след излъчването. $E_0$ е енергията на частицата в покой, а $E_\gamma$ е енергията на излъчения фотон. Ако повдигнем на квадрат закона за запазване на енергията и в него заместим енергията от релативисткия инвариант за енергията и импулса, получаваме:

P_2^{2}c^{2} = P_1^{2}c^{2} + E_\gamma^{2} - 2E_\gamma E_1\qquad \textbf{[0.25т]}

а от закона за запазване на импулса имаме

P_2^{2} = P_\gamma^{2} + P_1^{2} - 2P_\gamma P_1\cos\vartheta\qquad \textbf{[0.25т]}

След като умножим горното равенство с $c^{2}$ и отчетем, че $P_\gamma = nE_\gamma/c$ [0.25т], получаваме:

P_2^{2}c^{2} = E_\gamma^{2}n^{2} + P_1^{2}c^{2} - 2ncE_\gamma P_1\cos\vartheta\qquad \textbf{[0.25т]}

Последното уравнение вадим от $P_2^{2}c^{2} = P_1^{2}c^{2} + E_\gamma^{2} - 2E_\gamma E_1$ $\Rightarrow$

\left(n^{2}-1\right)\frac{E_\gamma}{2E_1} + 1 = \frac{ncP_1}{E_1}\cos\vartheta\qquad \textbf{[0.25т]}

Сега можем да отчетем, че $E_\gamma/E_1\ \hbar\ 1$ $\Rightarrow$

\cos\vartheta = \frac{E_1}{ncP_1} = \frac{c}{nu}\qquad \textbf{[0.5т]}

следователно за $n > 0, \cos\vartheta > 0$ , и излъчването е насочено по посока на движение на заредената частица, а при $n < 0, \cos\vartheta < 0$ , и излъчването е насочено в посока обратна на движение на заредената частица.

е)

Понеже ударът на фотона с честота $2\omega$ е в решетката на кристала, импулсът и енергията, които придобива кристалът, могат да се пренебрегнат спрямо енергията на фотона. От съображение за симетрия и закона за запазване на импулса имаме, че двата новородени фотона с честота $\omega$ трябва да се движат под еднакви ъгли $\alpha$ спрямо първоначалната посока на фотона с честота $2\omega$ .

От закона за запазване на импулса имаме:

P_{2\omega} = 2P_\omega\cos\alpha\qquad \textbf{[0.4т]}

От закона за запазване на енергията имаме:

E_{2\omega} = 2E_\omega\qquad \textbf{[0.35т]}

Също така имаме връзката между енергия и импулс на фотона с честота $2\omega$ и фотоните с честота $\omega$

E_{2\omega} = \frac{P_{2\omega}c}{n_{2\omega}},\qquad E_\omega = \frac{P_\omega c}{n_\omega}\qquad \textbf{[0.4т]} \Rightarrow

\frac{P_{2\omega}c}{n_{2\omega}} = 2\frac{P_\omega c}{n_\omega}\qquad \textbf{[0.35т]}

И окончателно за ъгъла $\alpha$ имаме

\cos\alpha = \frac{n_{2\omega}}{n_\omega} = -1 \Rightarrow \alpha = \pi\qquad \textbf{[1т]}

Следователно фотоните с честота $\omega$ се движат в обратна посока на падналия фотон с честота $2\omega$ (действа като нелинейно огледало).

Оригинал в Архива: esenni_2013_STproblems.pdf · официални решения: esenni_2013_STsolutions.pdf