Съдържание

НЕСФ 2013, Специална тема — Задача 3. Билярдна топка

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2013

Национално есенно състезание по физика, Сливен, 16-17 ноември 2013 г. — Специална тема · 16 ноември 2013 г. · 10 т.

Условие

Разгледайте хомогенна билярдна топка с маса $m$ и радиус $R$ , която седи неподвижна на хоризонтална маса. Коефициентът на триене при хлъзгане между топката и масата е $\mu$ , а триенето при търкаляне може да се пренебрегне. За много кратко време топката се удря с билярдна щека, която предава импулс $P$ .

а) Намерете времето $T$ , за което топката ще започне да се търкаля без хлъзгане, ако щеката удря топката в екваториалната равнина и ударът е насочен към центъра на топката (Фигура 2а). [3,5 т.]

б) Каква е крайната скорост $V$ на центъра на топката, когато вече се е установило търкалянето без хлъзгане? [1 т.]

Билярдна щека, насочена хоризонтално към топка, лежаща на маса; ударът е в екваториалната равнина (по пунктирания хоризонтален диаметър) и е означен със стрелка с етикет P. — Фигура 2а

Същата топка на маса; щеката с импулс P удря на височина h над екваториалната равнина, означена с пунктирания хоризонтален диаметър и фигурна скоба с етикет h. — Фигура 2б

в) На каква височина $h$ над екватора (Фигура 2б) трябва да се удари топката, за да може тя веднага да започне да се търкаля без хлъзгане? [2 т.]

г) Ако ударим топката на височина $H$ (Фигура 3) под екватора, какво ще бъде времето $T_1$ , за което топката ще си промени посоката на въртене, и времето $T_2$ , за което топката ще започне да се търкаля без хлъзгане? [3,5 т.]

Топка на маса, ударена от щека на разстояние H под екваториалната равнина (пунктиран хоризонтален диаметър), означено с фигурна скоба и етикет H; посоката на удара е показана с хоризонтална стрелка. — Фигура 3

Отговори

Решение

а)

Законите за запазване на импулса и на момента на импулса спрямо центъра на топката са

mv(t=0) = P \Rightarrow v(0) = P/m

\omega(t=0)I = 0 \Rightarrow \omega(0) = 0\qquad \textbf{[0.75т]}

където $v(0)$ и $\omega(0)$ са началната линейна и ъглова скорост на топката, а инерчният момент на топката спрямо нейния център е

I = \frac{2}{5}mR^{2}\qquad \textbf{[0.5т]}

На топката действа сила на триене (Фигура 2) $f = -\mu mg$ [0.5т], която променя линейната и ъгловата скорост на топката

v(t) = v(0) - \mu g t

\omega(t) = \omega(0) + \frac{5\mu g}{2R}t\qquad \textbf{[0.75т]}

Топката, ударена в екваториалната равнина с импулс P; в допирната точка с масата действа сила на триене f, насочена наляво (обратно на движението). — Фигура 2 (решение)

В момента, в който линейната скорост на центъра на масите и линейната скорост на допирната точка в система център на масите се изравнят, приплъзването спира $v(t) = \omega(t)R$ [0.5т] Оттук намираме и времето, за което става това

T = \frac{2}{7}\frac{P}{\mu m g}\qquad \textbf{[0.5т]}

б)

Крайната скорост на центъра на топката се дава като

v(T) = \frac{P}{m} - \frac{2}{7}\frac{P}{m} = \frac{5}{7}\frac{P}{m}\qquad \textbf{[1т]}

в)

Законите за запазване на импулса и на момента на импулса спрямо центъра на топката дават

mv(0) = P \Rightarrow v(0) = P/m

\omega(0)I = hP \Rightarrow \omega(0) = hP/I\qquad \textbf{[0.75т]}

За да няма прихлъзване, линейната и ъгловата скорост на топката в началния момент трябва да изпълняват $v(0) = \omega(0)R$ [0.5т] $\Rightarrow$

\frac{P}{m} = \frac{hPR}{I} \Rightarrow h = \frac{2}{5}R\qquad \textbf{[0.75т]}

г)

При удар под екваториалната равнина топката започва да се върти обратно на часовниковата стрелка. Отново от законите за запазване на импулса и на момента на импулса спрямо центъра на топката имаме

mv(0) = P \Rightarrow v(0) = P/m

\omega(0)I = HP \Rightarrow \omega(0) = HP/I\qquad \textbf{[0.5т]}

Промяната на линейната и ъгловата скорост на топката се дава като

v(t) = v(0) - \mu g t

\omega(t) = \omega(0) - \frac{5\mu g}{2R}t\qquad \textbf{[0.5т]}

От последното равенство намираме момента $T_1$ , в който топката спира да се върти

T_1 = \frac{PH}{\mu m g R}\qquad \textbf{[1т]}

Намираме времето $T$ , за което топката започва да се движи без хлъзгане от момента, в който нямаме въртене

T = \frac{2P}{7\mu m g}\left(1 - \frac{H}{R}\right)\qquad \textbf{[0.5т]}

И окончателно за $T_2$ имаме

T_2 = T_1 + T = \frac{PH}{\mu m g R} + \frac{2P}{7\mu m g}\left(1 - \frac{H}{R}\right) = \frac{P}{7\mu m g}\left(2 + \frac{5H}{R}\right)\qquad \textbf{[1т]}

Оригинал в Архива: esenni_2013_STproblems.pdf · официални решения: esenni_2013_STsolutions.pdf