Съдържание

НЕСФ 2014, 9. клас — Задача 1. Механика

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2014

Национално есенно състезание по физика 2014, тема за 9. клас · 8 ноември 2014 г. · 10 т.

Условие

Малко топче с маса m се намира в началото на хоризонтална повърхност с дължина L и коефициент на триене k, както е показано на фиг. 1. Хоризонталната повърхност преминава в дъга от окръжност с нулев коефициент на триене, с радиус R и ъгъл $\alpha = 60^{\circ}$ . В даден момент на тялото се придава начална скорост $V_0$ в посока, показана на фигурата.

Топче с начална скорост V0 върху хоризонтална повърхност с дължина L и коефициент на триене k, преминаваща в дъга от окръжност с радиус R и ъгъл 60°. — Фиг. 1

а) Намерете каква трябва да бъде минималната начална скорост $V_0$ , така че тялото да преодолее дъгата и да продължи хода си вдясно от нея. [4 т.] [4 т.]

б) Нека началната скорост на тялото да е такава, че то да достигне върха на дъгата (без да падне), след което да започне да се спуска обратно по дъгата. Намерете какво разстояние ще измине тялото по хоризонталната повърхност преди да спре своя ход. [3 т.] [3 т.]

в) Нека началната скорост на тялото да е такава, че то да спре още в началото на дъгата. Намерете средната стойност на мощността на силата на триене по времето. [3 т.]

Упътване: средната стойност на мощността по времето е равна на изменението на механичната енергия разделено на времето, за което се случва това изменение. [3 т.]

Отговори

Решение

а) С $E_1$ и $E_2$ ще означим механичните енергии на тялото съответно в началото на движението, където тялото е в крайно лява позиция, и в края, където тялото е на връхната точка на дъгата. Имаме следната връзка:

E_2 - E_1 = A,\ [0.5\ \text{т.}]

където $A$ е работата на силата на триене, натрупана при движението по хоризонталната повърхност. Имаме $\mathrm{A} = -kmgL$ [0.5 т.], $\mathrm{E}_1 = \frac{mv_0^2}{2}$ [0.5 т.] и $\mathrm{E}_2 = \frac{mv^2}{2} + mgh$ [0.5 т.], където $v$ е скоростта на тялото във връхната точка на дъгата. От геометрични съображения получаваме, че $h = R/2$ [0.5т] (използваме, че в правоъгълен триъгълник отношението на катета и хипотенузата е 1/2 при срещулежащ ъгъл от $30^{\circ}$ ). Следователно:

\frac{mv_0^2}{2} - \left(\frac{mv^2}{2} + \frac{mgR}{2}\right) = kmgL.\ [0.5\ \text{т.}]

За да падне тялото, трябва да е изпълнено $v > 0$ , откъдето за началната скорост получаваме

v_0 > \sqrt{g(2kL + R)}.\ [1\ \text{т.}]

б) В този случай имаме $E_1 = mgh$ [0.5 т.], $\mathrm{E}_2 = 0$ [0.5 т.] и $\mathrm{A} = -kmgL_2$ [0.5 т.], където $\mathrm{E}_1$ е механичната енергия на тялото в началната позиция (на върха на дъгата), $\mathrm{E}_2$ е механичната енергия на тялото в покой, след като то е изминало разстояние $L_2$ по хоризонталната повърхност, а $A$ е работата на силата на триене.

Имаме $mgh = kmgL_2$ [0.5 т.]. Отново заместваме $h = R/2$ и получаваме

L_2 = \frac{R}{2k}\ \ [1\ \text{т.}].

в) Движението на тялото по хоризонталната повърхност е равнозакъснително с ускорение $a$ . Имаме $F = kmg = ma$ [0.2 т.], откъдето получаваме a = kg [0.2 т.]. За изминатото разстояние $x$ имаме $x = v_0 t - \frac{kgt^2}{2}$ [0.3 т.], а за скоростта имаме $v = v_0 - kgt$ [0.3 т.]. Нека означим с $T$ времето, за което тялото изминава пътя с дължина L (до основата на дъгата, където движението спира). Така намираме $v_0 = kgT$ [0.2 т.], а оттам получаваме $T = \sqrt{\frac{2L}{kg}}$ [0.5т]. За пълната работа на силата на триене намираме $\mathrm{A} = -kmgL$ [0.3 т.]. Така окончателно за средната мощност получаваме

P = \frac{A}{T} = -m\sqrt{\frac{(kg)^3 L}{2}}\ \ [1\ \text{т.}].

Оригинал в Архива: esenni_2014_9problems.pdf · официални решения: esenni_2014_9solutions.pdf