Съдържание

НЕСФ 2014, Специална тема — Задача 2. Изгаряне на метеорит в атмосферата

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2014

Национално есенно състезание по физика, Плевен, 7–9 ноември 2014 г. — Специална тема · 7 ноември 2014 г. · 10 т.

Условие

Нощна снимка на ярка метеорна следа над силует на град. — Снимка на метеорит, изгарящ в земната атмосфера.

В тази задача ще разгледате опростен модел за изпарение на метеорит в земната атмосфера поради триенето му с въздуха. Метеоритът се състои от вещество с плътност $\rho_\mathrm{m} = 7800\ \mathrm{kg/m^3}$ и специфична топлина на сублимация $L = 6.1{\times}10^{6}\ \mathrm{J/kg}$ . Атмосферата е идеален газ, състоящ се от точкови молекули със средна моларна маса $\mu = 0.029\ \mathrm{kg/mol}$ . Температурата на атмосферата е постоянна по цялата ѝ височина, $T = 280\ \mathrm{K}$ , а атмосферното налягане на морското ниво е $p_0 = 1.0{\times}10^{5}\ \mathrm{Pa}$ . Ударите на молекулите на въздуха с метеорита са абсолютно нееластични. Влиянието на земната гравитация върху движението на метеорита се пренебрегва.

А) Оценете средната скорост $\bar{v}$ на топлинно движение на молекулите на въздуха. [0,5 т.]

Схема: Слънце в центъра, кръгова земна орбита, Земя със скорост vE и метеорит, движещ се перпендикулярно на равнината на орбитата. — Метеоритът пресича равнината на земната орбита под прав ъгъл; означена е орбиталната скорост $v_{\mathrm{E}}$ на Земята.

Б) Метеоритът започва движението си от състояние на покой на много голямо разстояние от Слънцето. Той се ускорява под действие на слънчевата гравитация в равнината на земната орбита, като я пресича под прав ъгъл, както е показано на фигурата. Ако е известно, че орбиталната скорост на Земята е $v_\mathrm{E} = 30\ \mathrm{km/s}$ , намерете относителната скорост $v_0$ спрямо Земята, с която метеоритът навлиза в атмосферата. Под какъв ъгъл $\theta$ спрямо вертикалата е насочена тази скорост? [2 т.]

В) Както следва от предходните две подточки, скоростта на топлинно движение на молекулите е много по-малка от скоростта, с която метеоритът навлиза в атмосферата. Затова се приема, че метеоритът се движи в газ, състоящ се от неподвижни точкови молекули. Разгледайте сферичен метеорит с радиус $r$ , който се движи в атмосферата със скорост $v$ спрямо въздуха. Плътността на атмосферата на дадената височина е $\rho_\mathrm{a}$ .

Получете израз за моментната топлинна мощност $P$ , която се отделя поради ударите между метеорита и молекулите на въздуха. [2 т.]

Г) Приемете, че $\eta = 50\%$ от отделената поради ударите топлина, се изразходва изцяло за сублимация (изпарение от твърдо агрегатно състояние) на веществото на метеорита. Останалата част от топлината води до загряване на въздуха и до топлинно излъчване. Считайте, че изпарението е равномерно по цялата повърхност на метеорита, т.е. той запазва сферичната си форма.

Получете израз за скоростта $\mathrm{d}r/\mathrm{d}t$ , с която намалява радиусът на метеорита, като функция на моментния му радиус $r$ и останалите зададени параметри. [2 т.]

Д) Измерванията показват, че метеоритите изминават по-голямата част от пътя си в атмосферата праволинейно (вж. снимката в началото) и практически с постоянна скорост. Оценете минималния радиус $r_{\min}$ , който трябва да има метеорит преди да навлезе в атмосферата, за да достигне земната повърхност. [3,5 т.]

Отговори

Решение

А) Ако пренебрегнем разликата между средноквадратична и средна скорост, имаме:

\frac{m\bar{v}^2}{2} = \frac{3}{2}k_\mathrm{B}T\,,

където $m = \mu/N_\mathrm{A}$ е масата на една молекула. Като вземем предвид, че $k_\mathrm{B} = R/N_\mathrm{A}$ , намираме:

\bar{v} = \sqrt{\frac{3RT}{\mu}} = 491\ \mathrm{m/s}\,.

Б) От II принцип на механиката имаме за движението на Земята около Слънцето:

\frac{m_\mathrm{E}v_\mathrm{E}^2}{a} = \gamma\frac{m_\mathrm{E}M}{a^2}\,,

където $m_\mathrm{E}$ е масата на Земята, $M$ – масата на Слънцето, а $a$ – радиусът на земната орбита. Оттук намираме:

v_\mathrm{E} = \sqrt{\gamma\frac{M}{a}}\,.

Нека означим масата на метеорита преди на навлезе в земната атмосфера с $m_0$ , а скоростта му спрямо Слънцето – с $v_\mathrm{m}$ . От закона на запазване на енергията имаме:

\frac{m_0v_\mathrm{m}^2}{2} = \gamma\frac{Mm_0}{a}\,.

Оттук получаваме:

v_m = \sqrt{2\gamma\frac{M}{a}} = \sqrt{2}\,v_\mathrm{E}\,.

Скоростта на метеорита спрямо Земята е $\vec{v}_0 = \vec{v}_\mathrm{m} - \vec{v}_\mathrm{E}$ (виж фигурата), т.е. има големина:

v_0 = \sqrt{v_\mathrm{E}^2 + v_\mathrm{m}^2} = v_\mathrm{E}\sqrt{3} = 52\ \mathrm{km/s}

Триъгълник на скоростите с вектори vE, vm и резултантна v0, между v0 и vm е означен ъгълът θ. — Векторен триъгълник на скоростите: $\vec{v}_0 = \vec{v}_{\mathrm{m}} - \vec{v}_{\mathrm{E}}$ .

и сключва ъгъл с вертикалата:

\theta = \arccos\left(\frac{v_\mathrm{m}}{v_0}\right) = \arccos\sqrt{\frac{2}{3}} = 35^\circ\,.

В) Разглеждаме удара между молекула на въздуха и метеорита в отправна система, свързана с метеорита. Тъй като ударът е идеално нееластичен, а масата $M$ на метеорита е много по-голяма от масата $m$ на една молекула, количеството топлина $q$ , отделена при един удар, е равно на кинетичната енергия на падащата молекула:

q = \frac{mv^2}{2}\,.

За време $t$ в метеорита се удрят молекулите, заемащи обем:

V = \pi r^2 v t\,.

Броят на тези молекули е:

N = nV = \bigl(\rho_\mathrm{a}/m\bigr)\pi r^2 v t\,,

където $n = \bigl(\rho_\mathrm{a}/m\bigr)$ е обемната концентрация на молекулите. Общата отделена топлина за това време е:

Q = Nq = \frac{\rho_\mathrm{a}\pi r^2 v^3}{2}\,t\,,

а мощността:

P = \frac{Q}{t} = \frac{\rho_\mathrm{a}\pi r^2 v^3}{2}\,.

Г) Нека за малък интервал от време $\mathrm{d}t$ от метеорита се изпарява тънък сферичен слой с дебелина $-\mathrm{d}r$ ( $\mathrm{d}r < 0$ ). Обемът на изпарения слой е $\mathrm{d}V = -4\pi r^2\mathrm{d}r$ , а масата му:

\mathrm{d}M = -4\pi\rho_\mathrm{m}r^2\mathrm{d}r\,.

За изпарението на слоя е нужно количество топлина:

\mathrm{d}Q = L\,\mathrm{d}M = -4\pi\rho_\mathrm{m}Lr^2\mathrm{d}r\,.

От уравнението за топлинен баланс имаме:

\mathrm{d}Q = \eta P\,\mathrm{d}t \quad \text{или} \quad -4\pi r^2\rho_\mathrm{m}L\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t} = \frac{\eta\rho_\mathrm{a}\pi r^2 v^3}{2}\,,

откъдето получаваме:

\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t} = -\frac{\eta\rho_\mathrm{a}v^3}{8\rho_\mathrm{m}L}\,.

Д) Приемаме, че скоростта на метеорита е постоянна по големина и по посока. За време $\mathrm{d}t$ височината на метеорита се променя с:

\mathrm{d}h = -v_0\cos\theta\,\mathrm{d}t = -\sqrt{2}\,v_\mathrm{E}\mathrm{d}t\,.

Следователно промяната на радиуса на метеорита с височината се описва с уравнението:

\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}h} = \frac{\eta\rho_\mathrm{a}v_0^2}{8\rho_\mathrm{m}L\cos\theta} = \frac{3\sqrt{6}\,\eta\rho_\mathrm{a}v_\mathrm{E}^2}{16\rho_\mathrm{m}L}\,.

От уравнението за хидростатично равновесие на атмосферата имаме:

\mathrm{d}p = -\rho_\mathrm{a}g\,\mathrm{d}h\,.

Следователно, промяната на радиуса на метеорита с височината е свързана със съответната промяна на атмосферното налягане по траекторията на метеорита:

\mathrm{d}r = -\frac{3\sqrt{6}\,\eta v_\mathrm{E}^2}{16\rho_\mathrm{m}Lg}\,\mathrm{d}p\,.

Нека в атмосферата навлиза метеорит с радиус $r_{\min}$ . Когато достигне земната повърхност, метеоритът изгаря напълно, т.е. $r = 0$ и съответно $\Delta r = -r_{\min}$ . От друга страна, във високите слоеве на атмосферата, където започва изгарянето на метеорита, атмосферното налягане е практически равно на нула, а на земната повърхност е равно на $p_0$ , т.е. $\Delta p = p_0$ . Следователно:

r_{\min} = \frac{3\sqrt{6}\,\eta v_\mathrm{E}^2 p_0}{16\rho_\mathrm{m}Lg} = 44\ \mathrm{m}\,.

Оригинал в Архива: esenni_2014_STproblems.pdf · официални решения: esenni_2014_STsolutions.pdf