Съдържание

НЕСФ 2014, Специална тема — Задача 3. Радар

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2014

Национално есенно състезание по физика, Плевен, 7–9 ноември 2014 г. — Специална тема · 7 ноември 2014 г. · 10 т.

Условие

Радар се състои от малки по размер източник И и приемник П на микровълнови импулси, разположени във фокуса на идеално отразяваща параболична антена с диаметър на изходния отвор $D = 2$ (вж. фигурата). Източникът излъчва микровълнови импулси с дължина на вълната $\lambda = 5\ \mathrm{cm}$ , продължителност $\tau = 1\ \mathrm{\mu s}$ и мощност $P_0 = 100\ \mathrm{kW}$ . Докато трае излъчването на даден импулс, приемникът е изключен. След това той се включва и регистрира импулсите, отразени от обект, намиращ се на разстояние $R$ от радара ( $R \gg D$ ).

Схема на радар: параболично огледало с означен диаметър D, източник И и приемник П във фокуса, стрелка R до сфера с радиус a. — Радарът: параболична антена с диаметър на изходния отвор $D$ , източник И и приемник П във фокуса, и обект с радиус $a$ на разстояние $R$ .

А) Пресметнете минималното растояние $R_{\min}$ , на което радарът може да регистрира обекта. [1 т.]

Б) Радарът се характеризира с величината яркост, която се дефинира като:

B = P\big/\Omega\,,

където $P$ е мощността на импулсите, а $\Omega$ е пространственият ъгъл, в който е съсредоточено излъчването на радара (виж математическото приложение). Получете израз и оценете числено максималната теоретично достижима яркост на радара. [2,5 т.]

В) Обектът е идеално отразяваща метална сфера с радиус $a$ ( $\lambda \ll a \ll R$ ). Получете израз за мощността $P_\mathrm{r}$ на отразената от сферата вълна. Определете пространствения ъгъл $\Omega_\mathrm{r}$ , в който се разпространява отразената вълна. [2 т.]

Г) Получете израз за мощността $P_\mathrm{d}$ на вълната, която се фокусира върху приемника П. [2 т.]

Д) За да регистрира приемникът отразената вълна, е нужно енергията, която той поглъща от вълната, да бъде по-голяма от средната енергия на топлинно движение на токовите носители в регистриращата електронна верига. Определете максималното разстояние $R_{\max}$ , на което радарът може да регистрира метална сфера с радиус $a = 1\ \mathrm{m}$ . Температурата на елементите от електронната верига на приемника е $T = 300\ \mathrm{K}$ . [2,5 т.]

Математическо приложение 1) Функциите хиперболичен косинус ( $\cosh$ ) и хиперболичен синус ( $\sinh$ ) се дефинират с равенствата:

\cosh x = \frac{\mathrm{e}^{x} + \mathrm{e}^{-x}}{2} \qquad \text{и} \qquad \sinh x = \frac{\mathrm{e}^{x} - \mathrm{e}^{-x}}{2}\,,

и удоволетворяват следните тъждества:

\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1\,; \qquad \bigl(\cosh x\bigr)' = \sinh x\,; \qquad \bigl(\sinh x\bigr)' = \cosh x\,.

2) Пространствен ъгъл $\Omega$ е част от пространството, ограничена от сноп лъчи – образуващи на ъгъла, излизащи от обща точка $O$ – връх на ъгъла. Ако разгледаме мислена сфера с радиус $R$ и център в т. $O$ , големината на пространствения ъгъл се дава с формулата:

\Omega = S/R^2\,,

където $S$ е площта на сферичния сегмент, ограничен от лъчите. Пространственият ъгъл се измерва в стерадиани (strad). Пространственият ъгъл, съответстващ на конус с ъгъл $\theta$ между образуващата и оста на конуса, се дава с израза:

\Omega = 4\pi\sin^2\bigl(\theta/2\bigr)\,.

Вляво: сфера с център O и сноп лъчи, отсичащи площ S — пространствен ъгъл Ω. Вдясно: конус с връх O и ъгъл θ между образуващата и оста. — Към математическото приложение: пространствен ъгъл $\Omega$ , отсичащ площ $S$ върху сфера с център $O$ , и конус с ъгъл $\theta$ между образуващата и оста.

Отговори

Решение

А) За да бъде регистриран, отразеният импулс трябва да се върне в радара след време, по-голямо от продължителността на импулса:

\frac{2R}{c} \ge \tau\,.

Следователно за минималното разстояние получаваме:

R_{\min} = \frac{c\tau}{2} = 150\ \mathrm{m}\,.

Б) Пространственият ъгъл, в който е съсредоточено излъчването на радара се определя от ъгъла на дифракционна разходимост:

\theta = \frac{1.22\lambda}{D} \approx 3{\times}10^{-2}\ \mathrm{rad}\,.

Тъй като $\theta \ll 1$ , можем да използваме приближението:

\Omega = 4\pi\sin^2(\theta/2) \approx \pi\theta^2 = \frac{1.49\pi\lambda^2}{D^2} = 2.93{\times}10^{-3}\ \mathrm{strad}\,.

Съответно яркостта на радара е:

B = \frac{P_0}{\Omega} = \frac{P_0D^2}{1.49\pi\lambda^2} = 34\ \mathrm{MW/strad}\,.

В) Пространственият ъгъл, под който радарът „вижда“ сферата се определя от нейното напречно сечение:

\Omega_\mathrm{s} = \frac{\pi a^2}{R^2}\,.

Съответно върху сферата пада и изцяло се отразява мощност:

P_\mathrm{r} = B\Omega_\mathrm{s} = \frac{P_0D^2a^2}{1.49\lambda^2R^2}\,.

Отразените лъчи сключват с падащите лъчи ъгли, които варират от 0 за лъчите, допиращи се до сферата, до $180^\circ$ за лъчите, които се отразяват в обратна посока. Следователно отразената от сферата вълна се разпространява изотропно в рамките на пълния пространствен ъгъл:

\Omega_\mathrm{r} = 4\pi\,.

Г) По отношение на отразената вълна, сферата е източник с яркост:

B_\mathrm{r} = \frac{P_\mathrm{r}}{\Omega_\mathrm{r}} = \frac{P_0D^2a^2}{5.96\pi\lambda^2R^2}\,.

Входният отвор на радара се вижда под пространствен ъгъл $\dfrac{\pi D^2}{4R^2}$ . Следователно, мощността, която пада върху параболичната антена и се фокусира върху детектора, е:

P_\mathrm{d} = \frac{P_0D^4a^2}{23.84R^4\lambda^2}

Д) За да може детекторът да регистрира отразената вълна е нужно:

P_\mathrm{d}\tau \ge \frac{3}{2}k_\mathrm{B}T

или

\frac{P_0D^4a^2\tau}{23.84R^4\lambda^2} \ge \frac{3}{2}k_\mathrm{B}T

Оттук определяме максималното разстояние, на което сферата може да бъде регистрирана от радара:

R_{\max} = 0.17\,D\sqrt[4]{\frac{P_0\tau}{k_\mathrm{B}T}}\sqrt{\frac{a}{\lambda}} \approx 107\ \mathrm{km}\,.

Оригинал в Архива: esenni_2014_STproblems.pdf · официални решения: esenni_2014_STsolutions.pdf