Съдържание

НЕСФ 2015, 10. клас — Задача 2. Нагряване на газ

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2015

Национално есенно състезание по физика 2015, тема за 10. клас · 14 ноември 2015 г. · 10 т.

Условие

Обемът на хоризонтален кръгов цилиндър е разделен на две равни части от подвижно бутало (фиг. 1). Лявата част е вакуумирана, а дясната е запълнена с идеален газ.

Хоризонтален цилиндър, разделен на две равни части от подвижно бутало; лявата половина е вакуумирана и съдържа пружина, свързваща буталото с лявата основа, а дясната половина (защрихована с точки) е запълнена с газ. — Фиг. 1

Буталото е съединено с лявата основа на цилиндъра чрез еластична пружина с дължина в недеформирано състояние, равна на дължината на цилиндъра. С помощта на вграден нагревател с пренебрежим обем газът се нагрява бавно.

а) Намерете връзката между налягането $p$ и обема $V$ на газа при неговото разширение. [2 т.]

б) Начертайте графиката на $p/p_0$ в зависимост от $V/V_0$ , където $p_0$ е началното налягане на газа, а $V_0$ – началният му обем. [1,5 т.]

в) При нагряването на газа температурата му се изменя от $T_0$ до $6T_0$ . Начертайте графиката на температурата $T$ на газа в зависимост от полученото от газа количество топлина $Q$ . Вътрешната енергия на газа се дава с израза $U = (3/2)BT$ , където $B$ е газовата константа. [6,5 т.]

Отговори

Решение

а) Нека означим коефициента на еластичност на пружината с $k$ , а основата на цилиндъра с $S$ . Когато дължината на еластичната пружина се измени с $x$ , тя действа върху буталото със сила $F_1 = kx$ [0,5 т.]. От друга страна газът действа върху буталото със сила $F_2 = pS$ [0,5 т.], където $p$ е налягането на газа. При равновесие $F_1 = F_2$ , откъдето следва

p = \frac{k}{S}x = \frac{k}{S^2}V,\ \text{т.е.}\ p = \alpha V. \qquad \text{[1 т.]}

б) При разширение имаме

\frac{p}{p_0} = \frac{V}{V_0}. \qquad \text{[0,5 т.]}

Обемът на газа се променя от $V_0$ до $2V_0$ , а налягането му ще се променя от $p_0$ до $2p_0$ . На фиг. 1 е показана графиката на процеса. [1 т.]

Права отсечка от точка (1, 1) до точка (2, 2) в координати V/V0 по абсцисата и p/p0 по ординатата, с прекъснати помощни линии. — Фиг. 1 (към решението на Задача 2) — графика на $p/p_0$ в зависимост от $V/V_0$ .

в) От уравнението на състояние на газа за началната му температура $T_0$ имаме

T_0 = \frac{p_0V_0}{B}. \qquad \text{[0,5 т.]}

Максималната температура, която газът достига при разширението си, е

T_1 = \frac{2p_0.2V_0}{B} = 4T_0. \qquad \text{[0,5 т.]}

Следователно в интервала от температури $T_0 \to 4T_0$ имаме

Q = \Delta U + A = \frac{3}{2}B(T - T_0) + A, \qquad \text{[1 т.]}

където $A$ е извършената от газа работа. Тя отива за свиване на пружината, при което нараства потенциалната ѝ енергия, т.е.

A = \frac{kx^2}{2} - \frac{kl^2}{2} = \frac{k}{2S^2}V^2 - \frac{k}{2S^2}V_0^2 = \frac{1}{2}(pV - p_0V_0) = \frac{1}{2}B(T - T_0). \qquad \text{[1 т.]}

Следователно при $T_0 \le T \le 4T_0$ имаме

T = T_0 + \frac{1}{2B}Q. \qquad \text{[1 т.]}

В температурния интервал $4T_0 \le T \le 6T_0$ нагряването става при постоянен обем. Тогава общото получено количество топлина $Q$ се дава с израза

Q - Q_1 = \Delta U = \frac{3}{2}B(T - T_1), \qquad \text{[0,5 т.]}

където $Q_1 = 6BT_0$ . Следователно за интервала $4T_0 \le T \le 6T_0$ имаме

T = T_1 + \frac{2}{3B}(Q - Q_1). \qquad \text{[1 т.]}

Зависимостта на температурата $T$ от полученото количество топлина $Q$ е показана на фиг. 2. [1 т.]

Начупена линия от (0, 1) до (6, 4) и след това с по-голям наклон до (9, 6) в координати Q/BT0 по абсцисата и T/T0 по ординатата. — Фиг. 2 (към решението на Задача 2) — графика на $T/T_0$ в зависимост от $Q/BT_0$ .

Оригинал в Архива: esenni_2015_10problems.pdf · официални решения: esenni_2015_10solutions.pdf