НЕСФ 2015, 11–12 клас — Задача 1. Електрическа верига

• а) $R_{\mathrm{AB}} = \frac{3R}{5} = 15\ \Omega$

• б) $I_R = \frac{2IR_{\mathrm{AB}}}{3R} = \frac{2\mathcal{E}R_{\mathrm{AB}}}{3R(R_{\mathrm{AB}}+r_0)} \approx 0{,}13\ \mathrm{A}$

• в) $P = I^2R_{\mathrm{AB}} = \frac{\mathcal{E}^2R_{\mathrm{AB}}}{(R_{\mathrm{AB}}+r_0)^2} \approx 1{,}62\ \mathrm{W}$

• г) $R = \frac{5r_0}{3} \approx 0{,}33\ \Omega,\quad P_{\max} = \frac{\mathcal{E}^2}{4r_0} = 31{,}25\ \mathrm{W}$

  Максимумът се достига при $R = 5r_0/3 \approx 0{,}33\ \Omega$; тогава $P_{\max} = 31{,}25\ \mathrm{W}$.

а) Еквивалентната схема на свързване е дадена на фиг. 1. [1 т.] Съпротивлението, което ще се измери между точките A и B, е $R_{\mathrm{AB}} = \frac{3R}{5} = 15\ \Omega$. [2 т.]

б) Токът през батерията е $I = \frac{\mathcal{E}}{R_{\mathrm{AB}}+r_0}$. [0,5 т.] Съответно токът през горния резистор е $I_R = \frac{2IR_{\mathrm{AB}}}{3R} = \frac{2\mathcal{E}R_{\mathrm{AB}}}{3R(R_{\mathrm{AB}}+r_0)} \approx 0{,}13\ \mathrm{A}$. [1,5 т.]

в) Електричната мощност, която се отделя в четирите резистора, е $P = I^2R_{\mathrm{AB}} = \frac{\mathcal{E}^2R_{\mathrm{AB}}}{(R_{\mathrm{AB}}+r_0)^2} \approx 1{,}62\ \mathrm{W}$. [1 т.]

г) Отделената мощност в резисторите е $P = \frac{\mathcal{E}^2R_{\mathrm{AB}}}{(R_{\mathrm{AB}}+r_0)^2} = \frac{15\mathcal{E}^2R}{(3R+5r_0)^2}$. Т.е. искаме да намерим най-голямата стойност на $x = \frac{R}{(3R+5r_0)^2}$. [0,5 т.] Тъй като при $R$, клонящо към нула или безкрайност, $x$ клони към нула, то наистина съществува такъв максимум. Около максимума винаги има две различни стойности на $R$, за които $x$ ще бъде едно и също. Тези стойности се получават като решение на квадратното уравнение $9xR^2 + (30xr_0 - 1)R + 25xr_0^2 = 0$. [0,5 т.] Единствено в максимума ще има една единствена стойност на $R$ за фиксирано $x_{\max}$, т.е. уравнението ще има един двоен корен. [0,5 т.] Този случай се реализира при нулиране на дискриминантата на уравнението: $(30xr_0 - 1)^2 - 900x^2r_0^2 = 0$, [0,5 т.] откъдето $x_{\max} = \frac{1}{60r_0}$, $R = \frac{5r_0}{3} \approx 0{,}33\ \Omega$, [1 т.] а $P_{\max} = \frac{\mathcal{E}^2}{4r_0} = 31{,}25\ \mathrm{W}$. [1 т.]