Съдържание

НЕСФ 2015, Специална тема — Задача 2. Пренос на топлина през прозорец

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2015

Национално есенно състезание по физика 2015, Велико Търново — Специална тема · 14 ноември 2015 г. · 10 т.

Условие

Преносът на топлина от по-топли към по-студени части на едно вещество се нарича топлопроводимост. Ако в направлението $x$ температурата $T$ с променя с $\Delta T$ при промяна на координатата с $\Delta x$ , то преминалото количество топлина $\Delta Q$ за интервал време $\Delta t$ през площ $\Delta S$ , перпендикулярна на $x$ , е $\dfrac{\Delta Q}{\Delta S \Delta t} = -\chi \dfrac{\Delta T}{\Delta x}$ . $\chi$ се нарича коефициент на топлопроводност на веществото.

а) Стая има един прозорец от единично стъкло с дебелина $d$ = 4 mm и площ $S$ = 2 m $^2$ . Навън температурата на въздуха е $T_{\text{out}}$ = 0 $^\circ$ C. Коефициентът на топлопроводност на стъклото е $\chi_{\text{gl}}$ = 0,96 $\frac{\text{W}}{\text{m.K}}$ . Изчислете с каква топлинна мощност $P_1$ електрическа печка трябва да нагрява въздуха в стаята, така че температурата вътре да е постоянна и да е равна на $T_{\text{in}}$ = 20 $^\circ$ C. Топлопроводимостта на стените се пренебрегва. [1 т.]

б) Нека в този случай стаята има прозорец от стъклопакет със същата площ, съдържащ две еднакви стъкла, всяко с дебелина $d$ = 4 mm и въздушна междина между тях с широчина $l$ = 16 mm. Приемете, че въздухът в стъклопакета е неподвижен. Коефициентът на топлопроводност на въздуха е $\chi_{\text{air}}$ = 0,024 $\frac{\text{W}}{\text{m.K}}$ . Изчислете с каква топлинна мощност $P_2$ електрическа печка трябва да нагрява въздуха в стаята, така че температурата вътре да е постоянна и да е равна на $T_{\text{in}}$ = 20 $^\circ$ C. [3 т.]

в) Изчислете температурата $T_1$ на външната страна на вътрешното стъкло и температурата $T_2$ на вътрешната страна на външното стъкло. [1 т.]

г) Ако за газове коефициентът на топлопроводност $\chi$ зависи от техни други характеристики така: $\chi = const.c_V^{\alpha}.\rho^{\beta}.\bar v^{\gamma}.\lambda^{\delta}$ , където $const$ е число, $c_V$ е специфичният топлинен капацитет на газа при постоянен обем, $\rho$ е плътността му, $\bar v$ е средната скорост на молекулите му, а $\lambda$ е средната им дължина на свободен пробег, то намерете неизвестните степени $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ и $\delta$ . [2 т.]

д) Използвайки получения резултат от предното подусловие и предполагайки, че благородните газове при нормални условия добре се описват от модела на идеалния газ, изчислете коефициента на топлопроводност на газа криптон $\chi_{\text{Kr}}$ при стайни условия. Дадени стойности: коефициент на топлопроводност на газа аргон $\chi_{\text{Ar}}$ = 17,7.10 $^{-3}$ W/m.K (при стайни условия), моларна маса на газа аргон $\mu_{\text{Ar}}$ = 39,9 g/mol, моларна маса на газа криптон $\mu_{\text{Kr}}$ = 83,8 g/mol, атомен радиус на аргона $r_{\text{Ar}}$ = 188 pm, атомен радиус на криптона $r_{\text{Kr}}$ = 202 pm. Какъв ще е ефектът върху преноса на топлина през стъклопакета, ако въздухът в междината между двете стъкла се замени с газ аргон (или газ криптон)? [3 т.]

Отговори

Решение

а) Уравнението за топлопроводността дава, че

P_1 = \frac{\Delta Q}{\Delta t} = \chi_{\text{gl}}\,\frac{T_{\text{in}} - T_{\text{out}}}{d}\,S = \textbf{[0.5 т.]}

0{,}96\,\frac{\text{W}}{\text{mK}}\;\frac{20\ \text{degC} - 0\ \text{degC}}{4.10^{-3}\,\text{m}}\;2\,\text{m}^2 = 9600\ \text{W}\qquad \textbf{[0.5 т.]}

б) Тъй като температурата на дадено място не се променя, то количеството топлина, преминало през всяка равнина, успоредна на стъклата на прозореца, ще е една и съща. Нека температурата на външната страна на вътрешното стъкло е $T_1$ , а температурата на вътрешната страна на външното стъкло е $T_2$ . Тогава

\frac{\Delta Q}{\Delta t} = \chi_{\text{gl}}\frac{T_{\text{in}} - T_1}{d}.S,\qquad \frac{\Delta Q}{\Delta t} = \chi_{\text{air}}\frac{T_1 - T_2}{l}.S,\qquad \frac{\Delta Q}{\Delta t} = \chi_{\text{gl}}\frac{T_{\text{out}} - T_2}{d}.S\ . \qquad \textbf{[1 т.]}

Тези три равенства могат да се запишат и така: $\dfrac{\Delta Q\,d}{\Delta t\,\chi_{\text{gl}}S} = T_{\text{in}} - T_1$ , $\dfrac{\Delta Q\,l}{\Delta t\,\chi_{\text{air}}S} = T_1 - T_2$ , $\dfrac{\Delta Q\,d}{\Delta t\,\chi_{\text{gl}}S} = T_2 - T_{\text{out}}$ . Събирайки ги почленно, се получава

\frac{\Delta Q}{\Delta t\,S}\left(\frac{d}{\chi_{\text{gl}}} + \frac{l}{\chi_{\text{air}}} + \frac{d}{\chi_{\text{gl}}}\right) = T_{\text{in}} - T_{\text{out}},

откъдето

\frac{\Delta Q}{\Delta t} = \frac{T_{\text{in}} - T_{\text{out}}}{\dfrac{2d}{\chi_{\text{gl}}} + \dfrac{l}{\chi_{\text{air}}}}\,S = \textbf{[1 т.]}\qquad \frac{20\ \text{K}.2\,\text{m}^2}{\dfrac{2.4.10^{-3}\,\text{m}}{0{,}96\frac{\text{W}}{\text{mK}}} + \dfrac{16.10^{-3}\,\text{m}}{0{,}024\frac{\text{W}}{\text{mK}}}} \approx 59\ \text{W}. \qquad \textbf{[1 т.]}

в) Температурата на външната страна на вътрешното стъкло е $T_1 = T_{\text{in}} - \dfrac{\Delta Q}{\Delta t\,S}\dfrac{d}{\chi_{\text{gl}}} \approx 19{,}88\ ^\circ\text{C}$ . [0.5 т.] Температурата на вътрешната страна на външното стъкло е $T_2 = T_{\text{out}} + \dfrac{\Delta Q}{\Delta t\,S}\dfrac{d}{\chi_{\text{gl}}} \approx 0{,}12\ ^\circ\text{C}$ . [0.5 т.]

г) Съответно размерността на коефициента на топлопроводност $\chi$ е $[\chi] = \dfrac{\text{W}}{\text{m.K}} = \dfrac{\text{kg\,m}}{\text{s}^3\text{K}}$ , [0.25 т.] на специфичния топлинен капацитет на газа при постоянен обем $[c_V] = \dfrac{\text{J}}{\text{kg.K}} = \dfrac{\text{m}^2}{\text{s}^2.\text{K}}$ , [0.25 т.] на плътността му е $[\rho] = \dfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}$ , на средната скорост на молекулите му е $[\bar v] = \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$ , и на средната им дължина на свободен пробег е $[\lambda] = \text{m}$ . Следователно

\text{kg}^1\text{m}^1\text{s}^{-3}\text{K}^{-1} = \text{m}^{2\alpha}\text{s}^{-2\alpha}\text{K}^{-\alpha}.\text{kg}^{\beta}\text{m}^{-3\beta}.\text{m}^{\gamma}\text{s}^{-\gamma}.\text{m}^{\delta}. \qquad \textbf{[0.25 т.]}

Така получаваме, че $1 = \beta$ , $1 = 2\alpha - 3\beta + \gamma + \delta$ , $-3 = -2\alpha - \gamma$ , $-1 = -\alpha$ . [0.25 т.] Тези уравнения имат единствено решение $\alpha = \beta = \gamma = \delta = 1$ . [1 т.] Така $\chi = const.c_v\,.\rho.\bar v.\lambda$ .

д) Нека изразим коефициента на топлопроводност на идеален газ чрез дадените величини. Специфичният топлинен капацитет $c_V$ на газа зависи от моларния капацитет $C_V$ така: $c_v = \dfrac{C_V}{\mu} = \dfrac{iR}{2\mu}$ , [0.5 т.] където $i = 3$ (степени на свобода на едноатомен газ), а $R$ е универсалната газова константа. Плътността на газа е $\rho = \dfrac{p\mu}{RT}$ , [0.5 т.] където $p$ е налягането, а $T$ – температурата. Средната скорост на атомите е $\bar v = \sqrt{\dfrac{3RT}{\mu}}$ . [0.5 т.] Средната дължина на свободен пробег е от порядъка на $\dfrac{1}{nS}$ , [0.5 т.] където $n$ е атомната концентрация на газа, а $S$ – сечението на молекулите. Следователно $\lambda \approx \dfrac{1}{nS} = \dfrac{RT}{pN_A}\dfrac{4}{\pi d^2}$ , където $N_A$ е числото на Авогадро, а $d$ е диаметърът на атомите. Комбинирайки горните фомули получаваме, че

\chi = const.\frac{iR}{2\mu}.\frac{p\mu}{RT}.\sqrt{\frac{3RT}{\mu}}.\frac{RT}{pN_A}\frac{4}{\pi d^2} \propto \sqrt{\frac{T}{\mu}}.\frac{1}{d^2}. \qquad \textbf{[0.25 т.]}

При една и съща температура $\dfrac{\chi_{\text{Ar}}}{\chi_{\text{Kr}}} = \sqrt{\dfrac{\mu_{\text{Kr}}}{\mu_{\text{Ar}}}}\left(\dfrac{d_{\text{Kr}}}{d_{\text{Ar}}}\right)^2$ , откъдето $\chi_{\text{Kr}} = \chi_{\text{Ar}}\sqrt{\dfrac{\mu_{\text{Ar}}}{\mu_{\text{Kr}}}}\left(\dfrac{d_{\text{Ar}}}{d_{\text{Kr}}}\right)^2 \approx 10{,}5.10^{-3}$ W/m.K (експериментално измерената стойност е $9{,}43.10^{-3}$ W/m.K). [0.25 т.] Сравнявайки коефициентите на топлопроводност на въздуха, аргона и криптона, заключаваме, че преносът на топлина през стъклопакета ще бъде най-голям при стъклопакет, пълен с въздух, с около една трета по-малък при стъклопакет, пълен с аргон и повече от два пъти по-малък при стъклопакет пълен с криптон. [0.5 т.]

Оригинал в Архива: esenni_2015_STproblems.pdf · официални решения: esenni_2015_STsolutions.pdf