Съдържание

НЕСФ 2015, Специална тема — Задача 3. Стояща електромагнитна вълна и микровълнова печка

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2015

Национално есенно състезание по физика 2015, Велико Търново — Специална тема · 14 ноември 2015 г. · 10 т.

Условие

(Задачата се състои от две независими подусловия)

А. Стояща електромагнитна вълна

Известно е, че в свободно пространство (вакуум) плоската бягаща електромагнитна вълна е напречна, векторите на посоката на разпространение, на интензитета на електричното поле и на индукцията на магнитното поле образуват дясна тройка и последните два вектора трептят във фаза. Амплитудите им са свързани така: $E_0 = cB_0$ , където $c = 3.10^{8}$ m/s е скоростта на светлината. Ако обаче една бягаща вълна пада перпендикулярно върху метал (идеален проводник), тя се отразява напълно и в обратна посока започва да се разпространява втора бягаща вълна. Тези две бягащи в противоположни посоки вълни образуват стояща вълна. От факта, че отразяващата повърхност е проводяща, следва че тангенциалната компонента на вектора на интензитета на електричното поле на границата вакуум-метал трябва да е нула (това са т. нар. гранични условия). Това налага характерни ограничения върху разпределението на електричното и магнитното поле на възникващата стояща вълна.

Ос z насочена наляво, синусоида със стрелка надясно, вертикална граница вакуум-метал с ос y нагоре и ос x към наблюдателя в точка 0,0,0. — Бягаща вълна, разпространяваща се надясно към границата вакуум-метал; началото на координатната система е в границата.

Нека надясно към границата вакуум-метал се разпространява плоска бягаща линейно-поляризирана монохроматична вълна с интензитет на електричното поле $\overrightarrow{E_1} = (E_{1x},0,0)$ , $E_{1x} = E_{10}\cos(kz + \omega t + \varphi)$ , където $k = \dfrac{2\pi}{\lambda}$ , $\omega = 2\pi\nu$ , $\lambda$ – дължина на вълната, $\nu$ – честота на вълната. Изразете чрез дадените параметри $E_{10}$ , $k$ , $\omega$ и $\varphi$ :

Полезна математика: $\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\left(\dfrac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\left(\dfrac{\alpha-\beta}{2}\right)$ ; $\sin\left(\dfrac{\pi}{2} - \alpha\right) = \cos\alpha$ ; $\cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\left(\dfrac{\alpha+\beta}{2}\right)\sin\left(\dfrac{\alpha-\beta}{2}\right)$ ; $\cos\left(\dfrac{\pi}{2} - \alpha\right) = \sin\alpha$

А. а) вектора на магнитната индукция $\overrightarrow{B_1}$ на падащата вълна [0,5 т.]

А. б) вектора на интензитета на електричното поле $\overrightarrow{E_2}$ на отразената вълна [0,5 т.]

А. в) вектора на магнитната индукция $\overrightarrow{B_2}$ на отразената вълна [0,5 т.]

А. г) вектора на интензитета на електричното поле $\overrightarrow{E_3}$ на стоящата вълна [1 т.]

А. д) вектора на магнитната индукция $\overrightarrow{B_3}$ на стоящата вълна [1 т.]

А. е) Къде се намират възлите на електричното и на магнитното поле на стоящата вълна? [0,5 т.]

А. ж) Колко е стойността на магнитното поле във върховете на неговата стояща вълна в момента време, когато стойността на електричното поле във върховете на неговата стояща вълна е максимална? [0,5 т.]

А. з) Колко е стойността на магнитното поле във върховете на неговата стояща вълна в момента време, когато стойността на електричното поле във върховете на неговата стояща вълна е нула? [0,5 т.]

Б) Б) Микровълнова печка.

В куха метална правоъгълна призма, каквато е пещта на микровълновата печка, могат да съществуват различни стоящи електромагнитни вълни с различно разпределение на техните електрични и магнитни полета. По-нататък ще описваме само електричното им поле. Нека размерите на пещта са $a = 29$ cm (по $x$ ), $b = 29$ cm (по $y$ ) и $h = 19$ cm (по $z$ ). Центърът на координатната система е избран в единия от ъглите на пещта. Граничните условия налагат ограничения върху разпределението на електричното поле и за стояща електромагнитна вълна то трябва да има следния вид:

\vec E = \left(E_x, E_y, E_z\right),

E_x = E_{0x}\cos\left(\frac{\pi m x}{a}\right)\sin\left(\frac{\pi n y}{b}\right)\sin\left(\frac{\pi l z}{h}\right)\cos(\omega t + \varphi),

E_y = E_{0y}\sin\left(\frac{\pi m x}{a}\right)\cos\left(\frac{\pi n y}{b}\right)\sin\left(\frac{\pi l z}{h}\right)\cos(\omega t + \varphi),

E_z = E_{0z}\sin\left(\frac{\pi m x}{a}\right)\sin\left(\frac{\pi n y}{b}\right)\cos\left(\frac{\pi l z}{h}\right)\cos(\omega t + \varphi).

Числата $m$ , $n$ и $l$ са цели, а $\omega = 2\pi\nu$ . Съответно тази стояща вълна се нарича мод $(m,n,l)$ . Резонансната честота $\nu$ и числата $m$ , $n$ и $l$ трябва да удовлетворяват следното равенство

\left(\frac{m}{a}\right)^2 + \left(\frac{n}{b}\right)^2 + \left(\frac{l}{h}\right)^2 = 4\left(\frac{\nu}{c}\right)^2

Б. а) Кой мод $(m,n,l)$ има минимална честота $\nu$ ? [0.5 т.] Изчислете нейната стойност. [0.5 т.] Опишете (или нарисувайте) разпределението на електричното поле в този мод. [1,5 т.]

Б. б) Източникът на микровълновото лъчение в микровълновата печка е магнетрон, излъчващ електромагнитна вълна с честота $\nu$ = 2,450 GHz. Намерете модовете $(m,n,l)$ , чиито резонансни честоти лежат в интервала (2,400 GHz, 2,500 GHz) и изчислете тези честоти с точност 5 знака. [2 т.] Кой от тях има честота, най-близка до тази на магнетрона (т.е. е най-вероятно този мод да се възбуди в пещта)? [2,5 т.]

Б. в) Опитът на Винер показва, че стоящата електромагнитна вълна отдава своята енергия на поглъщащо вещество най-много там, където са върховете на нейното електрично поле. Ако в микровълновата печка се е възбудил само модът с честота, най-близка до тази на магнетрона и неговото електрично поле е от типа $\vec E = (0,0,E_z)$ , къде трябва да поставим тънка пица, за да се стопли най-бързо? [0.5 т.] Къде ще се стопли най-бавно? [1 т.]

Отговори

А. а) $\overrightarrow{B_1} = \left(0, B_{1y}, 0\right),\quad B_{1y} = -\frac{E_{10}}{c}\cos(kz + \omega t + \varphi)$
А. б) $\overrightarrow{E_2} = (E_{2x},0,0),\quad E_{2x} = -E_{10}\cos(kz - \omega t - \varphi)$
А. в) $\overrightarrow{B_2} = \left(0, B_{2y}, 0\right),\quad B_{2y} = -\frac{E_{10}}{c}\cos(kz - \omega t - \varphi)$
А. г) $E_{3x} = -2E_{10}\sin(kz)\sin(\omega t + \varphi)$
А. д) $B_{3y} = -2\frac{E_{10}}{c}\cos(kz)\cos(\omega t + \varphi)$
А. е) $z_E = n\frac{\lambda}{2},\qquad z_B = (2n+1)\frac{\lambda}{4}\quad (n\ \text{– цяло число})$
А. ж) 0 T

Стойността на магнитното поле в този момент е нула.
А. з) $2\frac{E_{10}}{c}$
Б. а) $(m,n,l) = (1,1,0),\qquad \nu = 0{,}7315\ \text{GHz}$
Б. б) (1,0,3) и (0,1,3): 2,4242 GHz; (2,3,2) и (3,2,2): 2,4436 GHz; (2,4,1) и (4,2,1): 2,4442 GHz; (1,1,3): 2,4788 GHz. Най-близки до магнетрона са (2,4,1) и (4,2,1) с 2,4442 GHz.

Някои от модовете са „изродени“, т.е. със съвпадащи честоти.
Б. в) Най-бързо — максимално ниско или максимално високо в пещта (z = 0 и z = h); най-бавно — на височина по средата на пещта (z = h/2).

За модовете $(2,4,1)$ и $(4,2,1)$ : $E_z\left(z = \frac{h}{2}\right) = 0$ .

Решение

А. Стояща електромагнитна вълна

а) Тъй като векторите на посоката на разпространение, на интензитета $\vec E$ на електричното поле и на индукцията $\vec B$ на магнитното поле образуват дясна тройка и последните два вектора трептят във фаза, то магнитната индукция $\overrightarrow{B_1}$ на падащата вълна е $\overrightarrow{B_1} = \left(0, B_{1y}, 0\right)$ , $B_{1y} = -B_{10}\cos(kz + \omega t + \varphi) = -\dfrac{E_{10}}{c}\cos(kz + \omega t + \varphi)$ . [0.5 т.]

Подусловията б), в), г) и д) ще се решат заедно. Тъй като тангенциалната компонента на вектора на интензитета на електричното поле на границата вакуум-метал трябва да е нула, то отразената вълна е също линейно-поляризирана със същата ориентация и амплитуда на вектора на интензитета на електричното поле, но с неизвестна фаза $\psi$ , $\overrightarrow{E_2} = (E_{2x},0,0)$ , $E_{2x} = E_{10}\cos(kz - \omega t + \psi)$ . Векторът на магнитната индукция $\overrightarrow{B_2}$ на отразената вълна ще бъде $\overrightarrow{B_2} = \left(0, B_{2y}, 0\right)$ , $B_{2y} = B_{20}\cos(kz - \omega t + \psi) = \dfrac{E_{10}}{c}\cos(kz - \omega t + \psi)$ . Векторът на интензитета на електричното поле $\overrightarrow{E_3}$ на стоящата вълна е

\overrightarrow{E_3} = \overrightarrow{E_1} + \overrightarrow{E_2} = (E_{3x},0,0),\quad E_{3x} = E_{1x} + E_{2x} = E_{10}\cos(kz + \omega t + \varphi) + E_{10}\cos(kz - \omega t + \psi) = 2E_{10}\cos\left(kz + \frac{\varphi+\psi}{2}\right).\cos\left(\omega t + \frac{\varphi-\psi}{2}\right).

Векторът на индукцията на магнитното поле $\overrightarrow{B_3}$ на стоящата вълна е $\overrightarrow{B_3} = \overrightarrow{B_1} + \overrightarrow{B_2} = \left(0, B_{3y}, 0\right)$ ,

B_{3y} = B_{1y} + B_{2y} = -\frac{E_{10}}{c}\cos(kz + \omega t + \varphi) + \frac{E_{10}}{c}\cos(kz - \omega t + \psi) = -2\frac{E_{10}}{c}\sin\left(kz + \frac{\varphi+\psi}{2}\right)\sin\left(-\left(\omega t + \frac{\varphi-\psi}{2}\right)\right) = 2\frac{E_{10}}{c}\sin\left(kz + \frac{\varphi+\psi}{2}\right)\sin\left(\omega t + \frac{\varphi-\psi}{2}\right).

От граничните условия на границата вакуум-метал следва, че $E_{3x}(z = 0) \equiv 0$ , следователно $\dfrac{\varphi+\psi}{2} = \dfrac{(2n+1)\pi}{2}$ , откъдето $\psi = (2n+1)\pi - \varphi$ ( $n$ – цяло число). Вече знаейки фазата $\psi$ , окончателно можем да определим вида на всички вектори:

E_{2x} = E_{10}\cos(kz - \omega t + (2n+1)\pi - \varphi) = -E_{10}\cos(kz - \omega t - \varphi), \qquad \textbf{[0.5 т.]}

B_{2y} = \frac{E_{10}}{c}\cos(kz - \omega t + \varphi - (2n+1)\pi) = -\frac{E_{10}}{c}\cos(kz - \omega t - \varphi), \qquad \textbf{[0.5 т.]}

E_{3x} = 2E_{10}\cos\left(kz + \frac{(2n+1)\pi}{2}\right)\cos\left(\omega t + \varphi - \frac{(2n+1)\pi}{2}\right) = -2E_{10}\sin(kz)\sin(\omega t + \varphi), \qquad \textbf{[1 т.]}

B_{3y} = 2\frac{E_{10}}{c}\sin\left(kz + \frac{(2n+1)\pi}{2}\right)\sin\left(\omega t + \varphi - \frac{(2n+1)\pi}{2}\right) = -2\frac{E_{10}}{c}\cos(kz)\cos(\omega t + \varphi). \qquad \textbf{[1 т.]}

е) Възлите на стоящата вълна на електричното поле се намират в точки с координати $z = 0, \dfrac{\lambda}{2}, 2\dfrac{\lambda}{2}, \ldots, n\dfrac{\lambda}{2}, \ldots$ ( $n$ – цяло число). Възлите на стоящата вълна на магнитното поле се намират в точки с координати $z = \dfrac{\lambda}{4}, 3\dfrac{\lambda}{4}, \ldots, (2n+1)\dfrac{\lambda}{4}, \ldots$ ( $n$ – цяло число). [0.5 т.]

ж) Когато стойността на електричното поле във върховете на неговата стояща вълна е максимална, стойността на магнитното поле във върховете на неговата стояща вълна в момента време е нула. [0.5 т.]

з) Когато стойността на електричното поле във върховете на неговата стояща вълна е нула, стойността на магнитното поле във върховете на неговата стояща вълна в момента време е $2\dfrac{E_{10}}{c}$ . [0.5 т.]

Б) Микровълнова печка.

а) Модът с минимална честота е $(1,1,0)$ [0.5 т.] Честотата му е $0{,}7315$ GHz. [0.5 т.] Електричното му поле има вектор от типа $\vec E = (0,0,E_z)$ , $E_z$ не зависи от $z$ и има максимум в средата на пещта. [0.5 т.]

б) Проверявайки с различни цели числа, получаваме следните модове (някои от тях са „изродени“, т.е. със съвпадащи честоти, виж таблицата). [2 т] Най-близка честота до тази на магнетрона имат модовете $(2,4,1)$ и $(4,2,1)$ , която е $2{,}4442$ GHz. [0.5 т.]

Тип						$\nu$ , GHz
$m$	$n$	$l$	$m$	$n$	$l$
1	0	3	0	1	3	2,4242
2	3	2	3	2	2	2,4436
2	4	1	4	2	1	2,4442
1	1	3				2,4788

в) За модовете $(2,4,1)$ и $(4,2,1)$ ако електричното поле е само с вертикална компонента, то е максимално при $z = 0$ и $z = h$ . Следователно пицата трябва да се постави максимално ниско или максимално високо в пещта. [0.5 т.] Тъй като $E_z\left(z = \dfrac{h}{2}\right) = 0$ , то пицата ще се стопли най-бавно, ако се постави на височина по средата на пещта. [0.5 т.]

Оригинал в Архива: esenni_2015_STproblems.pdf · официални решения: esenni_2015_STsolutions.pdf