Съдържание

НЕСФ 2016, 10. клас — Задача 1. Електрически вериги

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2016

Национално есенно състезание по физика, 25 – 27 ноември 2016 г., Велинград — Тема 10. клас · 25 ноември 2016 г. · 10 т.

Условие

А. На фиг. 1А е показана схема на електрическа верига, в която резисторите са със съпротивления съответно $R_1 = R_2 = 2\ \Omega$ , $R_3 = 5\ \Omega$ , $R_4 = 40\ \Omega$ , $R_5 = 10\ \Omega$ . Токът през резистора 4 е $I_4 = 0{,}5\ \mathrm{A}$ .

а) Начертайте еквивалентната схема на електрическата верига, в която ясно личи свързването (последователно или успоредно) на резисторите. [2 т.]

б) Намерете еквивалентното съпротивление $R$ на веригата. [2 т.]

в) Определете напрежението $U$ на източника. [2 т.]

Електрическа схема: резистори 1 и 2 в горния клон, резистор 3 в напречния клон, резистор 4 в средния клон със стрелка за тока I4, резистор 5 в долния клон; отляво изводите на източника с напрежение U. — фиг. 1А — веригата от условие А с резистори 1–5, източник с напрежение $U$ и посочен ток $I_4$ през резистор 4.

Електрическа схема: резистори 3 и 4 в горния клон, резистори 1 и 2 в средния клон, източник E2 във вертикалния среден клон между тях и източник E1 в долния клон. — фиг. 1Б — мостова верига с два източника с ЕДН $E_1$ и $E_2$ и четири еднакви резистора.

Б. На фиг. 1Б е показана схема на електрическа верига, включваща два източника на напрежение съответно с ЕДН $E_1$ и $E_2$ и четири резистора с еднакви съпротивления $R$ . Намерете мощността на тока във всеки резистор. [4 т.]

Отговори

Решение

А. а) На фиг. Р-1А е показана еквивалентната схема на електрическата верига. [2 т.]

Еквивалентна схема: резистор 1 последователно с успоредната група от резистор 3 и клона с резистор 2 плюс успоредно свързаните резистори 4 и 5; стрелки показват токовете I1, I2, I3, I4, I5 и изводите на източника U. — фиг. Р - 1А — еквивалентната схема на веригата от фиг. 1А с означени токове $I_1$ – $I_5$ .

б) Еквивалентното съпротивление $R'$ на успоредно свързаните резистори 4 и 5 е

R' = \frac{R_4 R_5}{R_4 + R_5} = 8\ \Omega.

[0,5 т.]

Еквивалентното съпротивление $R''$ на последователно свързаните резистори 2 и $R'$ е

R'' = R_2 + R' = 10\ \Omega.

[0,5 т.]

В групата резисторите 3 и $R''$ са свързани успоредно, при което за еквивалентното съпротивление получаваме

R''' = \frac{R_3 R''}{R_3 + R''} = \frac{10}{3}\ \Omega.

[0,5 т.]

Тогава еквивалентното съпротивление на електрическата верига е

R = R_1 + R''' = \frac{16}{3}\ \Omega \approx 5{,}3\ \Omega.

[0,5 т.]

в) Напрежението $U_4$ между краищата на резистора 4 е $U_4 = I_4 R_4 = 20\ \mathrm{V}$ . [0,25 т.] Тъй като тока

I_5 = \frac{U_4}{R_5} = 2\ \mathrm{A},

[0,25 т.]

имаме $I_2 = I_4 + I_5 = 2{,}5\ \mathrm{A}$ [0,25 т.]. Тогава $U_3 = I_2 R'' = 25\ \mathrm{V}$ [0,25 т.], а $I_3 = U_3 / R_3 = 5\ \mathrm{A}$ [0,25 т.]. Като отчетем, че $I_1 = I_2 + I_3 = 7{,}5\ \mathrm{A}$ [0,25 т.], $U_1 = I_1 R_1 = 15\ \mathrm{V}$ [0,25 т.], намираме

U = U_1 + U_3 = 40\ \mathrm{V}.

[0,25 т.]

Б. За да намерим мощностите, трябва да определим токовете $I_1$ , $I_2$ , $I_3$ , $I_4$ (фиг. Р-1Б).

Схемата с два източника E1 и E2 и четири резистора, с добавени стрелки за токовете I3 и I4 в горния клон, I1 и I2 в средния клон, I' през източника E2 и I в левия клон. — фиг. P - 1Б — схемата от фиг. 1Б с означени посоки на токовете $I$ , $I'$ , $I_1$ , $I_2$ , $I_3$ , $I_4$ .

От закона на Ом и закона за запазване на електричния заряд имаме

\frac{E_1}{R} = I_1 + I_2, \qquad \frac{E_2}{R} = I_1 - I_3, \qquad \frac{E_2}{R} = I_4 - I_2, \qquad I_1 + I_3 = I_2 + I_4.

[1,5 т.]

От първите три уравнения изразяваме

I_1 = \frac{E_1}{R} - I_2, \qquad I_3 = \frac{E_1 - E_2}{R} - I_2, \qquad I_4 = \frac{E_2}{R} + I_2.

[0,75 т.]

и след заместване в четвъртото уравнение намираме

I_2 = \frac{E_1 - E_2}{2R}.

[0,25 т.]

Тогава получаваме

I_3 = I_2, \qquad I_1 = I_4 = \frac{E_1 + E_2}{2R}.

[0,5 т.]

За мощността на тока във всеки един от резисторите имаме

P_1 = I_1^2 R = \frac{(E_1 + E_2)^2}{4R} = P_4, \qquad P_2 = I_2^2 R = \frac{(E_1 - E_2)^2}{4R} = P_3.

[1 т.]

Оригинал в Архива: esenni_2016_10problems.pdf · официални решения: esenni_2016_10solutions.pdf