НЕСФ 2016, 9. клас — Задача 2. Хидростатично налягане

Част I

Първоначално сапунът плава във вода и от равенството на големините на силата на тежестта и Архимедовата сила, които действат на сапуна, следва $\rho_{\mathrm{С}}gh = 0{,}75\rho_{\mathrm{В}}gh$, [1 т.] откъдето $\rho_{\mathrm{С}} = 0{,}75\rho_{\mathrm{В}}$. След като е налято олиото, условието за равновесие на сапуна е $\rho_{\mathrm{С}}gh = \rho_{\mathrm{О}}g(h - z)$, [1 т.] където със $z$ сме означили височината на частта от сапуна, която се намира над олиото. След заместване се получава, че $z = \left(1 - \dfrac{3\rho_{\mathrm{В}}}{4\rho_{\mathrm{О}}}\right)h = \dfrac{h}{16} = 0{,}5\ \mathrm{cm}$. [1 т.]

Част II

а) Под действие на хидростатичното налягане във варела навлиза вода, докато налягането $p_1$ на въздуха във варела се изравни с налягането на съответната дълбочина под повърхността на морето: $p_1 = p_0 + \rho g(d + l - x)$, [1 т.] където $x$ е височината на водния стълб във вътрешността на варела. След установяване на термодинамично равновесие знаем, че въздухът във варела не е променил температурата си след потапянето във водата, т.е. може да използваме закона на Бойл–Мариот за изотермен процес: $p_0Sl = p_1S(l - x)$, [1 т.] където $S$ е лицето на дъното на варела. Заместваме $p_1$ от първото уравнение във второто и получаваме квадратно уравнение за $y = l - x$: $\rho gy^2 + (p_0 + \rho gd)y - p_0l = 0$. [1 т.] Положителният корен на уравнението е $y = \dfrac{\sqrt{(p_0+\rho gd)^2 + 4p_0\rho gl} - p_0 - \rho gd}{2\rho g}$. [2 т.] Оттук получаваме, че $x = l - y = l - \dfrac{\sqrt{(p_0+\rho gd)^2 + 4p_0\rho gl} - p_0 - \rho gd}{2\rho g} \approx 0{,}76\ \mathrm{m}$. [1 т.]

б) $p_1 = p_0 + \rho g(d + l - x) = \dfrac{p_0 + \rho gd + \sqrt{(p_0+\rho gd)^2 + 4p_0\rho gl}}{2} \approx 1{,}6\cdot 10^5\ \mathrm{Pa}$. [1 т.]