НЕСФ 2016, 9. клас — Задача 1. Равноускорително движение

Част I

а) Първоначално полицаите се движат равноускорително по закона $x_1 = at^2/2$. [0,5 т.] Нарушителите изминават разстояние $x_2 = v_0t$. [0,5 т.] Моментът $t_1$, когато полицейската кола спира да ускорява, се получава като решение на квадратното уравнение $x_2 - x_1 = v_0t - at^2/2 = l$. [0,5 т.] Трябва да се избере този корен на уравнението, който съответства на момент, когато полицаите настигат другия автомобил, т.е. скоростта им е по-голяма от тази на нарушителите. [0,5 т.] Така получаваме $t_1 = \left(v_0 + \sqrt{v_0^2 - 2al}\right)/a$. [1 т.] След този момент полицаите изминават разстояние $x_1' = at_1t_2$, [0,5 т.] а другата кола изминава $x_2' = v_0t_2$ [0,5 т.] до окончателното застигане, като $x_1' - x_2' = l$, [0,5 т.] откъдето $t_2 = l/(at_1 - v_0)$. [0,5 т.]

Така получаваме за времето за настигане $t_1 + t_2 = \dfrac{v_0+\sqrt{v_0^2-2al}}{a} + \dfrac{l}{\sqrt{v_0^2-2al}} \approx 19{,}7\ \mathrm{s}$. [1 т.]

б) Пътят, който изминават полицаите, е $v_0(t_1+t_2) \approx 590\ \mathrm{m}$. [1 т.]

Част II

Средната скорост за първата част от пътя е $\bar v = \dfrac{h}{2t_1}$, [0,5 т.] където $t_1$ е времето за достигане на половината дълбочина на кладенеца. От друга страна имаме, че $\dfrac{h}{2} = \dfrac{gt_1^2}{2}$. [0,5 т.] Като изключим $t_1$ от двете уравнения, ще получим, че $h = \dfrac{4\bar v^2}{g}$. [0,5 т.] Времето за достигане на дъното е $t_2 = \sqrt{2h/g} = 2\sqrt{2}\,\bar v/g$. [0,5 т.] Изминалото време, докато се чуе плясък, е $t = t_2 + \dfrac{h}{v_S} = \dfrac{2\sqrt{2}\,\bar v}{g} + \dfrac{4\bar v^2}{g v_S} \approx 6{,}26\ \mathrm{s}$. [1 т.]