Съдържание

НЕСФ 2016, Специална тема — Задача 2. Небалансиран Уитстонов мост

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2016

Национално есенно състезание по физика, 25 – 27 ноември 2016 г., Велинград — Специална тема · 25 ноември 2016 г. · 10 т.

Условие

Електрическа схема, съдържаща батерия с електродвижещо напрежение E и 5 резистора, свързани по начина, показан на фигурата, се нарича Уитстонов мост. Резисторът R $_5$ всъщност е вътрешното съпротивление на амперметър. Когато амперметърът измерва нулев ток, мостът се нарича балансиран. Обикновено три от резиторите са известни (например R $_2$ , R $_3$ и R $_4$ , като един или повече могат да се променят/регулират, за да се балансира мостът) и се търси стойността на четвъртия (R $_1$ ).

а) Намерете формула и изчислете стойността на R $_1$ в случая на балансиран мост (токът през R $_5$ е нула), ако са известни останалите параметри на веригата: E = 10 V, R $_2$ = 12 kΩ, R $_3$ = 10 kΩ, R $_4$ = 8 kΩ, R $_5$ = 10 Ω. [2 т.] [2 т.]

Схема на Уитстонов мост с пет резистора и батерия. — Уитстонов мост: батерия с ЕДН E и резистори $R_1$ , $R_2$ , $R_3$ , $R_4$ и $R_5$ (амперметърът) в диагонала.

б) Намерете формула за тока I $_5$ през резистора R $_5$ при произволни стойности на параметрите на веригата. [5 т.] [5 т.]

в) Намерете приближена формула за тока I $_5$ през резистора R $_5$ в случая, когато $R_5 \ll R_1, R_2, R_3, R_4$ [1 т.] [1 т.]

г) Уитстонов мост се използва за качествен контрол при производство на резистори с номинална стойност 10 kΩ. Мостът се балансира с еталонни (известни с голяма точност) и равни по стойност резистори, $R_2 = R_3 = R_4 = 10$ kΩ. Проверяваният резистор е $R_1$ . Според показанията на амперметъра (с пренебрежимо съпротивление) мостът е балансиран, но всъщност амперметърът показва нулев ток, когато стойността на тока през него е $I_5 \le 1\mu A$ . Електродвижещото напрежение E = 10 V. С каква абсолютна грешка $\Delta R_1$ се измерва резисторът $R_1$ ? [2 т.] [2 т.]

Отговори

Решение

а) Нека токовете през съответните резистори $R_1, R_2, R_3, R_4, R_5$ са $I_1, I_2, I_3, I_4, I_5$ . Тогава, когато $I_5 = 0$ , $I_1 = I_2$ и $I_3 = I_4$ . При нулев ток $I_5$ , напрежението на резистора $R_5$ е също нула и тогава напреженията на двойките резистори $\{R_1 , R_3\}$ и $\{R_2 , R_4\}$ също са равни: $I_1.R_1 = I_3.R_3$ ; $I_2.R_2 = I_4.R_4$ . Разделяйки почленно тези две уравнения и съкращавайки равните токове, се получава $R_1 = R_2\dfrac{R_3}{R_4}$ . [1,5 т.] След заместване с дадените стойности, $R_1 = 15\ \mathrm{k\Omega}$ . [0,5 т.]

б) В общия случай във веригата има 5 неизвестни тока. Написвайки 5 независими уравнения, можем да намерим тока I $_5$ . Тези уравнения могат да бъдат различни. Една възможна комбинация е следната (при избрана посока на тока I $_5$ надолу): $I_1 = I_2 + I_5$ ; $I_3 + I_5 = I_4$ ; $E = R_3.I_3 + R_4.I_4$ ; $R_1.I_1 + R_5.I_5 = R_3.I_3$ ; $R_2.I_2 = R_5.I_5 + R_4.I_4$ . [1 т.] Изразявайки $I_1$ от първото уравнение и $I_4$ от второто уравнение и замествайки в останалите, получаваме три нови уравнения: $E = (R_3+R_4)I_3 + R_4I_5$ ; $R_1I_2 - R_3I_3 + (R_1+R_5)I_5 = 0$ ; $R_2I_2 - R_4I_3 - (R_4+R_5)I_5 = 0$ . Умножавайки второто уравнение по $R_2$ и третото по $R_1$ и изваждайки ги едно от друго, се получава $I_3 = I_5\dfrac{R_1R_2+R_2R_5+R_1R_4+R_1R_5}{R_2R_3-R_1R_4}$ . Замествайки в първото уравнение от трите новополучени, окончателно се получава $I_5 = E\dfrac{R_2R_3-R_1R_4}{R_5(R_1R_3+R_1R_4+R_2R_3+R_2R_4)+R_1R_2(R_3+R_4)+R_3R_4(R_1+R_2)} = E\dfrac{R_2R_3-R_1R_4}{R_5(R_1+R_2)(R_3+R_4)+R_1R_2(R_3+R_4)+R_3R_4(R_1+R_2)}$ . [4 т.]

в) В случая, когато $R_5 \ll R_1, R_2, R_3, R_4$ , първото събираемо в знаменателя на по-горния израз за $I_5$ е пренебрежимо малко и тогава формулата се опростява до $I_5 = E\dfrac{R_2R_3-R_1R_4}{R_1R_2(R_3+R_4)+R_3R_4(R_1+R_2)}$ . [1 т.]

г) Замествайки в по-горната формула $R_2 = R_3 = R_4 = R$ , а $R_1 = R \pm \Delta R_1$ , се получава $I_5 \approx \mp E\dfrac{\Delta R_1}{4R^2}$ . Следователно $\Delta R_1 \le \dfrac{4R^2I_5}{E}$ [1,5 т.] $= 40\ \Omega$ . [0,5 т.]

Оригинал в Архива: esenni_2016_STproblems.pdf · официални решения: esenni_2016_STsolutions.pdf