Съдържание

НЕСФ 2017, 10. клас — Задача 1. Електричество и магнетизъм

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2017

Есенно национално състезание по физика, 17 - 19 ноември 2017 година — ТЕМА за 10. клас (четвърта състезателна група) · 17 ноември 2017 г. · 10 т.

Условие

Към краищата на две дълги успоредни проводящи релси, разположени вертикално, са свързани резистор с големина $R$ и бушон, който изгаря, ако през него премине ток с големина по-голяма или равна на $I_0$ . За релсите е закрепен проводящ прът, с маса $m$ , който първоначално е поставен на разстояние $x_0$ от горните им краища. Системата е поставена в еднородно магнитно поле $B$ , перпендикулярно на чертежа, както е показано на фигурата. Релсите, проводниците и прътът са с пренебрежимо съпротивление. Когато прътът се разкача от релсите, той започва да пада под действие на земното притегляне, но никога не губи електрически контакт с релсите. Разстоянието между релсите е $L$ , а земното ускорение е $g$ . Намерете:

а) минималната маса $m_0$ на пръта, необходима, за да изгори бушонът; [1 т.]

б) скоростта на движение $v$ на пръта в момента, когато бушонът изгаря. [2 т.]

Бушонът представлява проводящ цилиндър с дължина $l$ , радиус $r \ll l$ и специфично съпротивление $\rho_\mathrm{F}$ . Приемете, че през бушона тече ток $I$ . Намерете:

в) големината на електричното поле $E_\mathrm{F}$ в бушона; [2 т.]

г) големината на магнитното поле $B_\mathrm{F}$ непосредствено над повърхността на бушона в равнината на контура. [3 т.]

Бушонът изгаря, когато достигне температурата на топене $T_0$ , съответстваща на тока $I_0$ .

д) Намерете температурата $T_0$ . [2 т.]

Упътване: Загретите тела излъчват приблизително според закона $P = \sigma S T^4$ , където $P$ е мощността на излъчване, $\sigma$ е константата на Стефан-Болцман, $S$ е площта на излъчващата повърхност, а $T$ е температурата на тялото.

Решение

а) На пръта действат две сили: магнитна $F_\mathrm{M} = BIL$ [0.25т] и гравитационна $F_\mathrm{g} = mg$ [0.25т]. Посоката на $F_\mathrm{M}$ е вертикално нагоре, тъй като тя се стреми да възпрепятства промяната (в случая нарастването) на потока на магнитното поле, който е пропорционален на заградената площ. Движението на пръта е ускорително до момента, в който $F_\mathrm{M}$ стане достатъчно голяма, за да компенсира $F_\mathrm{g}$ . Така за максималния ток намираме: $BI_\mathrm{MAX}L = mg$ . Налагаме условието $I_\mathrm{MAX} \ge I_0$ , откъдето следва $m \ge \frac{BI_0L}{g}$ . Така за критичната маса намираме: $m_0 = \frac{BI_0L}{g}$ . [0.5т]

б) В момента, когато бушонът изгаря, напрежението върху резистора е $U_0 = RI_0$ [0.5т]. От друга страна напрежението можем да намерим и от закона (по големина) $U_0 = \frac{\Delta\Phi}{\Delta t}$ [0.5т], където $\Phi = BS = BLx$ [0.5т]. Намираме $U_0 = BLv$ . Оттук за търсената скорост получаваме $v = \frac{RI_0}{BL}$ . [0.5т]

в) Тъй като през резистора тече ток $I$ , напрежението е $U = RI$ , където $R = \frac{\rho_\mathrm{F}l}{\pi r^2}$ [1т]. Така получаваме $E_\mathrm{F} = \frac{U}{l} = \frac{\rho_\mathrm{F}I}{\pi r^2}$ . [1т]

г) Магнитното поле $B_\mathrm{F}$ е сума от външното поле $B$ и полето, създадено от тока, който тече през бушона $B'$ [1т]. Имаме $B' = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ [1т] (линиите на полето са концентрични окръжности). Посоката на $B'$ можем да определим по различни начини. Ще използваме закона на Фарадей, който ни казва, че индуцираният ток в контура се стреми да противодейства на промяната на потока на магнитното поле през контура. Това означава, че под бушона посоката на $B'$ е обратна на външното поле $B$ , т.е. $B_\mathrm{F} = B - B'$ , а над бушона е в посока на външното поле $B$ , т.е. $B_\mathrm{F} = B + B'$ . [1т]

д) Излъчената мощност от бушона е $P = I_0^2 R = I_0^2\frac{\rho_\mathrm{F}l}{\pi r^2}$ [1т]. От закона на Стефан-Болцман имаме $P = 2\pi r l\sigma T_0^4$ . Така намиране $T_0 = \left(\frac{\rho_\mathrm{F}I_0^2}{2\pi^2\sigma r^3}\right)^{\frac{1}{4}}$ . [1т]

Оригинал в Архива: esenni_2017_10problems.pdf · официални решения: esenni_2017_10solutions.pdf