Съдържание

НЕСФ 2017, 9. клас — Задача 3. Топчета на нишки

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2017

Национално есенно състезание по физика, 17 – 19 ноември 2017 г., Варна — Тема за 9. клас (трета състезателна група) · 17 ноември 2017 г. · 10 т.

Условие

Три еднакви малки метални топчета са свързани с безмасови непроводящи нишки, както е показано на фигурата вляво. Разстоянията между топчетата са указани на фигурата. Първоначално топчетата не са електрически заредени. Четвърто топче (идентично по размер и структура на свързаните топчета) със заряд $q$ се допира последователно до всяко едно от трите свързани топчета по ред на нарастване на номерата им, при което свързаните топчета се зареждат. След тези действия четвъртото топче се отдалечава от останалите три топчета. Електричната константа е $k$ .

а) Намерете големината на силата $F$ , с която останалите заряди действат на средното топче. [3 т.]

б) На колко е равна големината на интензитета $E$ , който създава системата от заряди в средата на отсечката, свързваща крайните топчета? [2 т.]

в) Определете потенциала $\varphi$ в средата на отсечката, която свързва крайните две топчета. [1 т.]

г) На колко е равно отношението $T_1/T_2$ , където $T_1$ е големината на силата на опън на лявата нишка (между топчетата 1 и 2), а $T_2$ е големината на силата на опън на дясната нишка (между топчетата 2 и 3)? [2,5 т.]

д) В един момент и двете нишки са прерязани. Определете големините на ускоренията $a_1$ , $a_2$ и $a_3$ , с които топчетата започват да се движат, ако масите им са равни на $m$ . [1,5 т.]

Решение

а) При допирането на еднакви метални топчета техните заряди се разпределят поравно между тях, т.е. зарядите им след допирането са средноаритметичното на техните заряди преди да се допрат едно до друго. [0,5 т.] Следователно първото топче придобива заряд $q_1 = q/2$ , второто топче се зарежда до $q_2 = q/4$ , а третото става със заряд $q_3 = q/8$ . [1 т.] Силата, която действа на средното топче, е векторна сума от силите, с които му действат останалите две топчета. [0,5 т.] Получава се, че $F = \frac{kq_1q_2}{d^2} - \frac{kq_2q_3}{4d^2} = \frac{15kq^2}{128d^2}$ . [1 т.]

б) Средната точка е на разстояние $d_1 = d_3 = 3d/2$ от крайните две топчета и на разстояние $d_2 = d/2$ от средното топче. [0,5 т.] Големината на интензитета в тази точка е $E = \frac{kq_1}{d_1^2} + \frac{kq_2}{d_2^2} - \frac{kq_3}{d_3^2} = \frac{7kq}{6d^2}$ . [1,5 т.]

в) Потенциалът в геометричния център на системата е алгебрична сума от потенциалите на трите заряда в тази точка: $\varphi = \frac{kq_1}{d_1} + \frac{kq_2}{d_2} + \frac{kq_3}{d_3} = \frac{11kq}{12d}$ . [1 т.]

г) Условието за равновесие на крайното ляво топче е: $T_1 = \frac{kq^2}{8d^2} + \frac{kq^2}{144d^2} = \frac{19kq^2}{144d^2}$ . [1 т.] По аналогичен начин условието за равновесие на крайното дясно топче е: $T_2 = \frac{kq^2}{128d^2} + \frac{kq^2}{144d^2} = \frac{17kq^2}{1152d^2}$ . [1 т.] Отношението $\frac{T_1}{T_2} = \frac{152}{17} \approx 8{,}94$ . [0,5 т.]

д) Големините на силите, които действат на топчетата непосредствено след прерязването на нишките, са $F_1 = \frac{kq_1q_2}{d^2} + \frac{kq_1q_3}{9d^2} = T_1 = \frac{19kq^2}{144d^2}$ , $F_2 = F = \frac{15kq^2}{128d^2}$ и $F_3 = \frac{kq_2q_3}{4d^2} + \frac{kq_1q_3}{9d^2} = T_2 = \frac{17kq^2}{1152d^2}$ . [1 т.] Оттук следва, че големините на ускоренията са: $a_1 = \frac{F_1}{m} = \frac{19kq^2}{144md^2}$ , $a_2 = \frac{F_2}{m} = \frac{15kq^2}{128md^2}$ и $a_3 = \frac{F_3}{m} = \frac{17kq^2}{1152md^2}$ . [0,5 т.]

Оригинал в Архива: esenni_2017_9problems.pdf · официални решения: esenni_2017_9solutions.pdf