Съдържание

НЕСФ 2017, 9. клас — Задача 2. Цилиндри с бутала

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2017

Национално есенно състезание по физика, 17 – 19 ноември 2017 г., Варна — Тема за 9. клас (трета състезателна група) · 17 ноември 2017 г. · 10 т.

Условие

Част I

Хидравличната машина на фигурата вляво е изградена от два хоризонтални цилиндрични участъка с радиуси $R_1 = 0{,}1\ \mathrm{m}$ и $R_2 = 0{,}25\ \mathrm{m}$ . По-малкото бутало има маса $m_1 = 2\ \mathrm{kg}$ , а по-голямото бутало е с маса $m_2 = 10\ \mathrm{kg}$ . Пространството между буталата е запълнено с несвиваем идеален флуид. Върху буталата са приложени външни сили с големини $F_1 = 0{,}15\ \mathrm{kN}$ и $F_2 = 0{,}9\ \mathrm{kN}$ , като посоките на силите са означени на фигурата. Приемете, че налягането $p$ на флуида не се изменя. Налягането на околната среда е $p_0 = 10^5\ \mathrm{Pa}$ .

а) Определете големината на ускорението $a_1$ на по-малкото бутало. [4 т.]

б) На колко е равна големината на ускорението $a_2$ на по-голямото бутало? [1 т.]

в) Намерете налягането $p$ на флуида в хидравличната машина. [1,5 т.]

Част II (3,5 т.)

В хоризонтален топлоизолиран цилиндър с напречно сечение $S = 30\ \mathrm{cm^2}$ и с бутало, което може да се движи без триене, е затворено определено количество идеален газ при атмосферно налягане $p_0 = 10^5\ \mathrm{Pa}$ . В цилиндъра има електрически нагревател с неизвестна постоянна мощност $P$ . След включване на нагревателя буталото започва да се движи надясно със скорост $v = 2\ \mathrm{cm/s}$ . Вътрешната енергия на газа се дава с израза $U = 3BT/2$ , където $B$ е константа, а $T$ е температурата на газа. Съотношението между обема и температурата на газа преди включване на нагревателя е $p_0V_0 = BT_0$ . Намерете мощността $P$ на нагревателя.

Решение

Част I

а) Като отчетем посоките на силите, които действат на буталата, се получават следните две уравнения от II принцип на Нютон: (2.1) $F_1 - \pi R_1^2\Delta p = m_1a_1$ [0,5 т.], (2.2) $\pi R_2^2\Delta p - F_2 = m_2a_2$ [0,5 т.], където $\Delta p = p - p_0$ . [0,5 т.] Тъй като флуидът в цилиндрите е несвиваем, обемът между буталата се запазва, т.е. $\pi R_1^2\Delta s_1 = \pi R_2^2\Delta s_2$ [0,5 т.], където с $\Delta s_1$ и $\Delta s_2$ означаваме пътищата, изминати от лявото и дясното бутало, съответно. Като разделим двете страни на това уравнение на много малък интервал от време $\Delta t$ , ще получим следното съотношение между големините на моментните скорости $v_1$ и $v_2$ на буталата: $R_1^2v_1 = R_2^2v_2$ . Оттук имаме връзка и между измененията на скоростите на двете бутала за един и същ интервал от време: $R_1^2\Delta v_1 = R_2^2\Delta v_2$ . Това означава, че имаме същата зависимост и между големините на ускоренията на буталата: $R_1^2a_1 = R_2^2a_2$ . [0,5 т.] Заместваме $a_2$ от последното уравнение в (2.2), след което решаваме (2.1) и (2.2) спрямо $a_1$ . Получаваме, че $a_1 = \frac{R_2^2\left(F_1R_2^2 - F_2R_1^2\right)}{m_1R_2^4 + m_2R_1^4} = 2{,}66\ \mathrm{m/s^2}$ . [1,5 т.]

б) $a_2 = \frac{R_1^2a_1}{R_2^2} = \frac{R_1^2\left(F_1R_2^2 - F_2R_1^2\right)}{m_1R_2^4 + m_2R_1^4} = 0{,}43\ \mathrm{m/s^2}$ . [1 т.]

в) От уравнения (2.1) и (2.2) следва, че $\Delta p = \frac{m_1F_2R_2^2 + m_2F_1R_1^2}{\pi\left(m_1R_2^4 + m_2R_1^4\right)}$ . [1 т.] Съответно $p = p_0 + \Delta p = p_0 + \frac{m_1F_2R_2^2 + m_2F_1R_1^2}{\pi\left(m_1R_2^4 + m_2R_1^4\right)} = 104{,}6\ \mathrm{kPa}$ . [0,5 т.]

Част II

Процесът, който протича с идеалния газ, е изобарен, т.е. във всеки един момент налягането му е $p_0$ и е равно на външното налягане. От закона на Шарл имаме: $\frac{V_0}{T_0} = \frac{V_0+\Delta V}{T_0+\Delta T}$ [0,5 т.], където $\Delta V = Sv\Delta t$ [0,5 т.], а $\Delta t$ е изминалото време след включването на нагревателя. Оттук се получава, че $\Delta T = T_0\frac{\Delta V}{V_0} = \frac{T_0Sv\Delta t}{V_0} = \frac{p_0Sv\Delta t}{B}$ . [0,5 т.] Съответното изменение на вътрешната енергия е $\Delta U = \frac{3}{2}B\Delta T = \frac{3}{2}p_0Sv\Delta t$ . [0,5 т.] От I принцип на термодинамиката имаме, че $\Delta U = Q + A = P\Delta t - p_0\Delta V = P\Delta t - p_0Sv\Delta t$ . [1 т.] Окончателно получаваме, че търсената мощност $P = \frac{5}{2}p_0Sv = 15\ \mathrm{W}$ . [0,5 т.]

Оригинал в Архива: esenni_2017_9problems.pdf · официални решения: esenni_2017_9solutions.pdf