Съдържание

НЕСФ 2017, 11–12 клас — Задача 2. Кондензатор с променлив капацитет

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2017

Национално есенно състезание по физика, 17–19 ноември 2017 г., гр. Варна — Тема за 11.–12. клас, пета състезателна група · 17 ноември 2017 г. · 10 т.

Условие

За промяна на честотата на трептящ кръг в радиотехниката са се използвали кондензатори с променлив капацитет. Промяната на капацитета на такъв кондензатор става, като се промени ефективната площ на плочите на кондензатора. На Фигура 2 е показан кондензатор с променлив капацитет, който се състои от $2N$ на брой еднакви тънки плочи с формата на полукръг с радиус $r$ . Плочите са разделени на два реда, условно бели и сиви, като плочите във всеки ред са свързани с проводници (плътните линии на горната част от Фиг. 2). Разстоянието между две съседни плочи от един ред (например белите) е $d$ . Сивите плочи са поставени точно по средата между белите плочи и могат да се въртят около ос, минаваща през центъра на всеки от полукръговете – пунктираната линия от Фиг. 2.

Горе: пакет от полукръгли плочи на кондензатор с променлив капацитет, свързани в два реда (заряди $+q_0$ и $-q_0$), с ос на въртене през центъра на полукръговете. Долу: две полукръгли плочи, завъртени на ъгъл $\theta$, с радиус $r$ и защрихована ефективна площ $S(\theta)$. — Фигура 2

2.1. Определете капацитета $C$ на кондензатора като функция на ъгъла на завъртане $\theta$ . При $\theta = 0$ капацитетът $C(0) = C_0$ е максимален. (3 т.)

2.2. Кондензатор с променлив капацитет е успоредно свързан с резистор със съпротивление $R$ – Фигура 3. В началния момент кондензаторът е зареден до заряд $q_0$ , а капацитетът му е $C_0$ (кондензаторът от предното подусловие).

Затворена верига: кондензатор с капацитет $C_0$ и заряд $q_0$ горе, резистор $R$ долу. — Фигура 3

2.2.1. С каква ъглова скорост $\omega$ трябва да въртим плочите му, така че токът във веригата да остава постоянен? (4 т.)

2.2.2. За колко време $\tau$ кондензаторът ще се разреди напълно? (1,5 т.)

2.2.3. Колко е отделеното количество топлина $Q$ през резистора за това време? (1,5 т.)

Отговори

Решение

Решение: 2.1. Всеки две съседни плочи от различни редове на променливия кондензатор образуват плосък кондензатор с ефективна площ на плочите $S(\theta)$ и разстояние между тях $d/2$ , така за капацитета на един от тези кондензатори може да запишем:

C_1(\theta) = \frac{\varepsilon_0 S(\theta)}{d/2} = \frac{\varepsilon_0(\pi - \theta)r^2}{d},

(1 т.)

където $r$ е радиусът на плочите, а $(\pi - \theta)$ е ъгълът, под който те се припокриват. Като отчетем, че $2N$ плочи, свързани по указания начин, образуват $2N - 1$ успоредно свързани кондензатори с капацитет $C_1$ , (1 т.) то капацитетът на променливия кондензатор, изразен като функция на ъгъла $\theta$ , ще бъде:

C(\theta) = (2N - 1)\varepsilon_0(\pi - \theta)r^2/d.

(1 т.) (2.1)

2.2.1. Нека означим с $C_0$ максималния капацитет на кондензатора в началния момент време, отговарящ на $\theta = 0$ . Горното равенство може да се презапише като:

C(\theta) = C_0\left(1 - \frac{\theta}{\pi}\right),

(0,5 т.)

където $C_0 = (2N - 1)\varepsilon_0\pi r^2/d$ . Тъй като токът $I$ във веригата остава постоянен, зарядът върху плочите на кондензатора ще се изменя по закона $q(t) = q_0 - It$ . (1 т.) От друга страна падът на напрежението върху резистора и напрежението на плочите на кондензатора ще са равни. Така получаваме връзката:

IR = \frac{q(t)}{C(t)} = \frac{q_0 - It}{C(t)}.

(1 т.)

От горното уравнение може да изразим зависимостта на капацитета от времето:

C(t) = \frac{q_0 - It}{IR} \equiv C(\theta) = C_0\left(1 - \frac{\theta}{\pi}\right).

(0,5 т.)

Ако положим $t = 0$ , може да намерим големината на тока във веригата $I = q_0/RC_0$ , (0,5 т.) откъдето за ъгловата скорост $\omega$ , с която трябва да въртим плочите на кондензатора, получаваме:

\omega = \frac{\Delta\theta}{\Delta t} = \frac{\pi}{RC_0}.

(0,5 т.) (2.2)

2.2.2. Времето, $\tau$ , за което се разрежда кондензаторът, се получава от условието $q(\tau) = 0$ (1 т.):

\tau = \frac{q_0}{I} = RC_0.

(0,5 т.) (2.3)

2.2.3. Отделеното количество топлина през резистора получаваме от закона на Джаул–Ленц (1 т.):

Q = I^2R\tau = \frac{q_0^2}{C_0}.

(0,5 т.) (2.4)

Оригинал в Архива: esenni_2017_11-12problems.pdf · официални решения: esenni_2017_11-12solutions.pdf