Съдържание

НЕСФ 2017, 11–12 клас — Задача 1. Тяло по наклонена равнина

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2017

Национално есенно състезание по физика, 17–19 ноември 2017 г., гр. Варна — Тема за 11.–12. клас, пета състезателна група · 17 ноември 2017 г. · 10 т.

Условие

Тяло с маса $m$ се движи нагоре по наклонена равнина с ъгъл на наклона $\alpha$ (началното положение на тялото е показано на Фигура 1). Началната скорост на тялото е $v_0$ , а коефициентът на триене между тялото и равнината (и наклонената, и хоризонталната ѝ част) е $\mu$ ( $\mu < \tan\alpha$ ).

За следващите четири подусловия разгледайте движението на тялото по наклонената равнина и определете:

Тяло с маса $m$ в основата на наклонена равнина с ъгъл $\alpha$; начална скорост $\vec{v}_0$ е насочена нагоре по наклона, вляво продължава хоризонтален участък. — Фигура 1

1.1. ускорението $a$ на тялото като големина и посока, при движението му нагоре и надолу; (2 т.)

1.2. координатата $x$ на тялото като функция на времето, при движението му нагоре и надолу; (2 т.)

1.3. времето $t_\mathrm{и}$ , за което тялото ще достигне максимална височина; (2 т.)

1.4. максималната височина, $h_{max}$ , на която се издига тялото спрямо началното си положение ( $t = 0$ ). (2 т.)

1.5. Приемете, че преходът между наклонената равнина и хоризонталния участък на Фиг. 1 е плавен, т.е. когато тялото преминава през него, се променя само посоката на скоростта му, но не и големината ѝ.

На какво разстояние се намира тялото, спрямо началното си положение ( $t = 0$ ), при окончателното му спиране? (2 т.)

Отговори

Решение

Решение: 1.1. Да разгледаме координатна система с начало най-ниската точка от наклонената равнина. Положителната посока на оста $Ox$ да е успоредна на наклонената равнина и насочена нагоре по нея. Определяме силите, който действат на тялото, и записваме втория закон на Нютон:

m\vec{g} + \vec{N} + \vec{f} = m\vec{a}.

Тук с $f$ е означена силата на триене, за която е изпълнено $f = \mu N = \mu m g\cos\alpha$ . Като запишем горното равенство по компоненти, (1 т.) може да определим ускорението на тялото:

a = -(\sin\alpha + \mu\cos\alpha)g,\ v > 0,\ t < t_\mathrm{и};

(0,5 т.) (1.1)

a = -(\sin\alpha - \mu\cos\alpha)g,\ v < 0,\ t > t_\mathrm{и}.

(0,5 т.) (1.2)

1.2. В така избраната координатна система за закона за движение на тялото получаваме:

x(t) = v_0t - (\sin\alpha + \mu\cos\alpha)gt^2/2,\ v > 0,\ t < t_\mathrm{и};

(1 т.) (1.3)

x(t) = x_{max} - (\sin\alpha - \mu\cos\alpha)g(t - t_\mathrm{и})^2/2,\ v < 0,\ t > t_\mathrm{и},

(1 т.) (1.4)

където $x_{max}$ е максималното разстояние, което изминава тялото нагоре по наклонената равнина.

1.3. Времето, за което тялото ще измине това разстояние, се определя от закона за скоростта (1 т.) и е равно на:

t_\mathrm{и} = \frac{v_0}{(\sin\alpha + \mu\cos\alpha)g}.

(1 т.) (1.5)

Така за $x_{max}$ получаваме израза:

x_{max} = \frac{v_0^2}{2(\sin\alpha + \mu\cos\alpha)g}.

(1 т.)

1.4. Максималната височина, на която се издига тялото, е:

h_{max} = x_{max}\sin\alpha = \frac{v_0^2\sin\alpha}{2(\sin\alpha + \mu\cos\alpha)g}.

(1 т.) (1.6)

1.5. За да определим разстоянието от началното положение, на което се намира тялото при окончателното му спиране, използваме закона за изменение на енергията $\Delta E = A_\mathrm{тр}$ , (1,5 т.) откъдето получаваме:

s = \frac{v_0^2}{2\mu g}\frac{\sin\alpha - \mu\cos\alpha}{\sin\alpha + \mu\cos\alpha}.

(0,5 т.) (1.7)

Оригинал в Архива: esenni_2017_11-12problems.pdf · официални решения: esenni_2017_11-12solutions.pdf