Съдържание

НЕСФ 2017, 9. клас — Задача 1. Трупчета и макара

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2017

Национално есенно състезание по физика, 17 – 19 ноември 2017 г., Варна — Тема за 9. клас (трета състезателна група) · 17 ноември 2017 г. · 10 т.

Условие

Три трупчета с маси $m$ , $2m$ и $3m$ , са свързани с безмасови неразтегливи нишки, както е показано на фигурата вляво. Трупчетата с маси $m$ и $2m$ са оставени свободно да висят, окачени на безмасова макара. Преди системата да започне да се движи трупчето с маса $3m$ се намира на разстояние $\ell = 2\ \mathrm{m}$ от макарата върху хоризонтална повърхност, като коефициентът на триене между трупчето и повърхността е $k = 0{,}3$ . Може да използвате, че земното ускорение е $g \approx 10\ \mathrm{m/s^2}$ . Съпротивлението на въздуха да се пренебрегне.

а) Определете големината на ускорението $a$ , с което се движат трупчетата. [2 т.]

б) Ако големината на силата на опън на горната нишка е $T_1 = 5\ \mathrm{N}$ , намерете стойността на масата $m$ . [1 т.]

в) На колко е равна големината $T_2$ на силата на опън на долната нишка? [1 т.]

След като хоризонтално движещото се трупче изминава две трети от първоначалното си разстояние до макарата, долната нишка (която свързва трупчетата с маси $m$ и $2m$ ) е прерязана.

г) Определете времето $t$ от началото на движението на системата, за което хлъзгащото се трупче ще стигне до макарата. [3,5 т.]

д) Намерете нарастването на температурата $\Delta T$ на трупчето с маса $3m$ . Приемете, че при хлъзгането му върху повърхността 1/3 от работата на силата на триене се е трансформирала в предадена на трупчето топлина. Използвайте също, че 1/2 от кинетичната енергия на трупчето се превръща в топлина за неговото загряване, когато то се удря в макарата и спира да се движи. Специфичният топлинен капацитет на трупчето е $c = 600\ \frac{\mathrm{J}}{\mathrm{kg.K}}$ . [2,5 т.]

Решение

а) На трупчето с маса $3m$ действа сила на триене с големина $f = kN = 3kmg$ . Като отчетем посоките на всички сили, които действат на трупчетата, се получават следните уравнения от II принцип на Нютон: (1.1) $T_1 - 3kmg = 3ma$ [0,5 т.], (1.2) $T_2 - T_1 + mg = ma$ [0,5 т.], (1.3) $2mg - T_2 = 2ma$ [0,5 т.]. Като съберем трите уравнения, за да изключим силите на опън, получаваме, че ускорението $a = \frac{(1-k)g}{2} \approx 3{,}5\ \mathrm{m/s^2}$ . [0,5 т.]

б) От уравнението (1.1) следва, че $m = \frac{T_1}{3(a+kg)} = \frac{2T_1}{3(1+k)g} \approx 0{,}26\ \mathrm{kg}$ . [1 т.]

в) От (1.3) се получава, че $T_2 = 2m(g-a) = \frac{2T_1}{3} \approx 3{,}3\ \mathrm{N}$ . [1 т.]

г) След като долната нишка е прерязана, за двете останали трупчета се изпълняват следните уравнения от II принцип на Нютон: $T_1' - 3kmg = 3ma'$ [0,5 т.] и $mg - T_1' = ma'$ [0,5 т.]. Като съберем уравненията, ще получим: $a' = \frac{(1-3k)g}{4}$ . [0,5 т.] Времето от началото на движението до прерязването на нишката ще означим с $t_1 = \sqrt{\frac{4\ell}{3a}} = \sqrt{\frac{8\ell}{3(1-k)g}}$ . [0,5 т.] Времето от прерязването на нишката до удара с макарата ще означим с $t_2$ . За $t_2$ имаме следното квадратно уравнение: $\frac{\ell}{3} = at_1t_2 + \frac{a't_2^2}{2}$ . [0,5 т.] След неговото решаване получаваме, че $t_2 = \frac{-at_1+\sqrt{a^2t_1^2+2\ell a'/3}}{a'} = \frac{2\left(\sqrt{5-7k}-2\sqrt{1-k}\right)}{1-3k}\sqrt{\frac{2\ell}{3g}}$ . [0,5 т.] Окончателно получаваме, че $t = t_1 + t_2 = \sqrt{\frac{8\ell}{3(1-k)g}} + \frac{2\left(\sqrt{5-7k}-2\sqrt{1-k}\right)}{1-3k}\sqrt{\frac{2\ell}{3g}} \approx 1{,}1\ \mathrm{s}$ . [0,5 т.]

д) Нарастването на температурата $\Delta T = \frac{Q_1+Q_2}{3mc}$ [0,5 т.], където $Q_1$ е предадената на трупчето топлина по време на хлъзгането му по повърхността, а $Q_2$ е количеството топлина, която повишава температурата на трупчето по време на удара му с макарата. По условие $Q_1 = \frac{A_f}{3} = kmg\ell = \frac{2k\ell T_1}{3(1+k)}$ . [0,5 т.] Имаме още, че $Q_2 = \frac{3}{4}m(at_1 + a't_2)^2 = \frac{3}{4}m\left(a^2t_1^2 + 2\ell a'/3\right) = \frac{(5-7k)\ell T_1}{12(1+k)}$ . [1 т.] Окончателно $\Delta T = \frac{(5+k)g\ell}{24c} \approx 7{,}4\ \mathrm{mK}$ . [0,5 т.]

Оригинал в Архива: esenni_2017_9problems.pdf · официални решения: esenni_2017_9solutions.pdf