НЕСФ 2018, 10. клас — Задача 2. Магнитни взаимодействия

• а) $d_1 = d + x = d + \frac{d}{2}\left(-1+\sqrt{1+\frac{\mu_0 I^2 L}{\pi k d^2}}\right) = 2{,}0\ \mathrm{cm}$
• б) $\nu = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{2k}{m}} = \frac{\sqrt{50}}{2\pi}\ \mathrm{Hz} \approx 1{,}1\ \mathrm{Hz}$
• в) $d_2 = d + x_1 = d + \frac{d}{2}\left(-1+\sqrt{1+\frac{\mu_0 I_0^2 L}{2\pi k d^2}}\right) \approx 1{,}6\ \mathrm{cm}$
• г) Изправена синусоида $F(t) = F_0\left(1-\cos(2\pi\cdot 2\nu_0 t)\right)$ с честота $2\nu_0 = 100$ Hz, която се мени между 0 и $2F_0$.
• д) $\nu_1 = \frac{\nu}{2} \approx 0{,}56\ \mathrm{Hz}$

а) Тъй като постоянният ток в късата и дългата пръчка тече в обратни посоки, между тях ще възникне сила на отблъскване. Тя е равна на $F(r) = B(r)IL$, [1 т.] където $r$ е разстоянието между тях, а $B(r) = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$. При свиване на всяка от пружините с $x$, на късата пръчка ще действа и еластична сила $F_{\mathrm{ел}} = 2kx$. [1 т.] Когато пръчката е в равновесие, $2kx = \frac{\mu_0 I^2 L}{2\pi(d+x)}$. Решавайки това уравнение спрямо $x$, получаваме $x^2 + dx - \frac{\mu_0 I^2 L}{4\pi k} = 0$. [1 т.] Положителният корен на това квадратно уравнение е $x = \frac{d}{2}\left(-1+\sqrt{1+\frac{\mu_0 I^2 L}{\pi k d^2}}\right)$. [1 т.] Замествайки с дадените стойности, $x = \frac{1\ \mathrm{cm}}{2}\left(-1+\sqrt{1+\frac{4\pi{\cdot}10^{-7}\frac{\mathrm{H}}{\mathrm{m}}\,10^{2}\,\mathrm{A}^2\,1\,\mathrm{m}}{\pi{\cdot}0{,}05\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}}\,10^{-4}\,m^2}}\right) = \frac{1\ \mathrm{cm}}{2}\left(-1+\sqrt{1+8}\right) = 1{,}0$ cm. [0.5 т.] Разстоянието между двете пръчки ще бъде $d_1 = d + x = 2{,}0$ cm. [0.5 т.]

б) Трептенето на пръчката се извършва единствено под действието на еластичните сили, с които пружините действат на пръчката. Тъй като при свиване на пружините с $x$, еластичната сила е $F_{\mathrm{ел}} = 2kx$, то честотата е $\nu = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{2k}{m}} =$ [0.5 т.] $\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{2{\cdot}0{,}05\,\mathrm{N/m}}{2{\cdot}10^{-3}\,\mathrm{kg}}} = \frac{\sqrt{50}}{2\pi}$ Hz $\approx 1{,}1$ Hz. [0.5 т.]

в) При протичане на променливия ток във веригата, силата която ще действа между двете пръчки (при разстояние $r$ между тях), е $F(t) = \frac{\mu_0 I(t)^2 L}{2\pi r} = \frac{\mu_0 I_0^{\,2}\left(\sin(2\pi\nu_0 t)\right)^2 L}{2\pi r} =$ [0.5 т.] $\frac{\mu_0 I_0^{\,2} L}{2\pi r}\cdot\frac{1}{2}\left(1-\cos(2\pi 2\nu_0 t)\right) = \frac{\mu_0 \frac{I_0^{\,2}}{2} L}{2\pi r} - \frac{\mu_0 I_0^{\,2} L}{4\pi r}\cos(2\pi 2\nu_0 t) =$ [0.5 т.] $F_0 + F_1(t)$. $F_0$ е постоянна сила, докато $F_1(t)$ е бързопроменяща се сила, която си променя посоката с голяма честота ($2\nu_0 = 100$ Hz). Нейният ефект върху пръчката, усреднен по времето, е нула. Следователно ефектът върху пръчката е действието на постоянната сила $F_0$. Така този случай се свежда до разгледания в подусловие а), но сега „постоянният ток“ във веригата е всъщност ефективната стойност на променливия ток $\frac{I_0}{\sqrt{2}}$. Така в този случай отместването на пръчката ще бъде $x_1 = \frac{d}{2}\left(-1+\sqrt{1+\frac{\mu_0 I_0^{\,2} L}{2\pi k d^2}}\right) =$ [0.5 т.] $\frac{1\ \mathrm{cm}}{2}\left(-1+\sqrt{1+4}\right) \approx 0{,}6$ cm. Разстоянието между двете пръчки ще бъде $d_2 = d + x_1 \approx 1{,}6$ cm. [0.5 т.]

г) Качествената графика на зависимостта на силата $F(t)$ на магнитното взаимодействие между двете пръчки от времето $t$ изглежда така: [1 т.]

д) Резонанс ще се наблюдава, когато честотата на външната сила съвпада със собствената честота на трептящата система. Обаче, при честота на променливия ток $\nu_1$, честотата на външната сила е $2\nu_1$. [0.5 т.] Собствената честота $\nu$ е намерена в подусловие б). Следователно $\nu_1 = \frac{\nu}{2} \approx 0{,}56$ Hz. [0.5 т.]