Съдържание

НЕСФ 2018, 10. клас — Задача 3. Трептене на плаващо тяло

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2018

Национално есенно състезание по физика 2018, тема за 10. клас (четвърта възрастова група) · 1 ноември 2018 г. · 10 т.

Условие

Тяло с форма на цилиндър със сечение $S_1$ , височина $h$ и плътност $\rho_1$ е потопено в течност с плътност $\rho_0$ ( $\rho_1 < \rho_0$ ). Тялото плава неподвижно в течността (основите на цилиндъра са успоредни на повърхността на течността).

а) Каква е височината $x$ на потопената му част (разстоянието от долната му основа до повърхността на течността)? [3 т.]

б) Тялото е натиснато малко повече в течността и отпуснато. Започва да извършва вертикални трептения около равновесното си положение (при тези трептения основите на цилиндъра остават успоредни на повърхността на течността). Земното ускорение е $g$ . Намерете формула за периода $T$ на тези трептения. [3 т.]

в) Огромен блок лед от крайбрежната ледена обвивка на Антарктида се отчупва от останалата част и пада в океана. Дебелината на ледения блок е $h = 100$ m. Земното ускорение е $g = 9{,}81$ m/s $^2$ . Плътността на леда е $\rho_1 = 917$ kg/m $^3$ , а на океанската вода - $\rho_0 = 1027$ kg/m $^3$ . Изчислете периода $T_{\mathrm{л}}$ на вертикалните трептения на този блок в океана. [1 т.]

г) Тялото от подусловие б) този път е потопено в чаша с течност с плътност $\rho_0$ . Чашата има форма на цилиндър, който има сечение с площ $S_0$ ( $S_0 > S_1$ ). Тялото отново извършва вертикални трептения около равновесното си положение на плаване. Намерете формула за периода $T_{\mathrm{ч}}$ на тези трептения. [3 т.]

Отговори

Решение

а) При равновесие на тялото, плаващо на повърхността на течността, силата на тежестта му се уравновесява с действащата му Архимедова сила, [1 т.] т.е. $\rho_1 S_1 h g = \rho_0 S_1 x g$ , [1 т.] откъдето $x = h\frac{\rho_1}{\rho_0}$ . [1 т.]

б) Нека тялото е натиснато надолу на разстояние $y$ спрямо равновесното му положение. Резултантната сила, която ще му действа, ще е разликата на Архимедовата сила и силата на тежестта му, $F = \rho_0 S_1 (x+y) g - \rho_1 S_1 h g = \rho_0 S_1 y g$ . [1 т.] Вижда се, че силата $F$ е пропорционална на отклонението $y$ , с коефициент на пропорционалност $k = \rho_0 S_1 g$ . [1 т.] Следователно тялото ще извършва хармонични трептения с период $T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} = 2\pi\sqrt{\frac{\rho_1 S_1 h}{\rho_0 S_1 g}} = 2\pi\sqrt{\frac{\rho_1 h}{\rho_0 g}}$ . [1 т.]

в) Прилагайки получената в подусловие б) формула, $T_{\mathrm{л}} = 2\pi\sqrt{\frac{\rho_1 h}{\rho_0 g}} = 2\pi\sqrt{\frac{917\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}\,100\,\mathrm{m}}{1027\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}\,9{,}81\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}}} \approx 19{,}0$ s. [1 т.]

г) Нека тялото е натиснато надолу на разстояние $y$ спрямо равновесното му положение. Тогава обаче, тъй като течността е несвиваема, нивото ѝ ще се отмести нагоре на разстояние $z$ , такова че $S_1 y = (S_0 - S_1)z$ . Следователно $z = y\frac{S_1}{S_0-S_1}$ Резултантната сила, която ще действа на тялото, ще е разликата на Архимедовата сила и силата на тежестта му, $F = \rho_0 S_1 (x+y+z) g - \rho_1 S_1 h g = \rho_0 S_1 y g\frac{S_0}{S_0-S_1}$ . [1 т.] Вижда се, че силата $F$ е пропорционална на отклонението $y$ , с коефициент на пропорционалност $k = \rho_0 S_1 g\frac{S_0}{S_0-S_1}$ . [1 т.] Следователно тялото ще извършва хармонични трептения с период $T_{\mathrm{ч}} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} = 2\pi\sqrt{\frac{\rho_1 S_1 h (S_0-S_1)}{\rho_0 S_1 g S_0}} = 2\pi\sqrt{\frac{\rho_1 h (S_0-S_1)}{\rho_0 g S_0}} = 2\pi\sqrt{\frac{\rho_1 h\left(1-\frac{S_1}{S_0}\right)}{\rho_0 g}}$ . [1 т.]

Оригинал в Архива: esenni_2018_10problems.pdf · официални решения: esenni_2018_10solutions.pdf