НЕСФ 2018, 11–12 клас — Задача 3. Електрическа верига

• а) $R_{\mathbf{AD}} = \frac{8R}{13}$
• б) $I_{\mathbf{BC}} = \frac{2\mathcal{E}}{8R + 13r}$
• в) $P = I^2 R_{\mathbf{AD}} = \frac{104R\mathcal{E}^2}{(8R + 13r)^2}$

а) Еквивалентна схема на дадената електрическа верига е представена на фигурата вляво. [1 т.] Съпротивлението, което ще се измери между точките $\mathbf{A}$ и $\mathbf{D}$, е равно на $R_{\mathbf{AD}} = \frac{8R}{13}$. [3 т.]

б) След свързването на батерията към веригата общото еквивалентно съпротивление ще стане $R_{\mathrm{екв}} = R_{\mathbf{AD}} + r = \frac{8R}{13} + r$. [0,5 т.] Съответно токът през батерията ще бъде $I = \mathcal{E}\big/R_{\mathrm{екв}} = \mathcal{E}\big/\left(\frac{8R}{13} + r\right)$. [0,5 т.] Оттук напрежението между точките $\mathbf{A}$ и $\mathbf{D}$ ще бъде $U_{\mathbf{AD}} = \mathcal{E} - Ir = \frac{8R\mathcal{E}}{8R + 13r}$. [1 т.] През резистора между точките $\mathbf{C}$ и $\mathbf{D}$ ще тече ток $I_{\mathbf{CD}} = \frac{5U_{\mathbf{AD}}}{8R} = \frac{5\mathcal{E}}{8R + 13r}$. [1 т.] Следователно напрежението между точките $\mathbf{C}$ и $\mathbf{E}$ ще бъде $U_{\mathbf{CE}} = U_{\mathbf{AD}} - I_{\mathbf{CD}}R = \frac{3R\mathcal{E}}{8R + 13r}$. [1 т.] Окончателно, през резистора между точките $\mathbf{B}$ и $\mathbf{C}$ ще тече ток $I_{\mathbf{BC}} = \frac{2U_{\mathbf{CE}}}{3R} = \frac{2\mathcal{E}}{8R + 13r}$. [1 т.]

в) Мощността, която се отделя в резисторите, е $P = I^2 R_{\mathbf{AD}} = \frac{104R\mathcal{E}^2}{(8R + 13r)^2}$. [1 т.]