Съдържание

НЕСФ 2018, 9. клас — Задача 1. Нелинейни елементи и показания на амперметъра

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2018

Национално есенно състезание по физика 2018, тема за 9. клас, трета състезателна група · 1 ноември 2018 г. · 10 т.

Условие

Графика на U_AB (V) спрямо t (s): линеен растеж от (0,0) до (27,27) и линейно спадане до (54,0). — Фигура 2. Зависимост на подаденото напрежение $U_{AB}$ от времето $t$ — триъгълен импулс с връх в точката $(27, 27)$ .

Всеки от елементите $R_x$ , използвани в електрическата схема, показана на Фигура 1, може да променя съпротивлението си в зависимост от напрежението $U_x$ върху него. Между точките $A$ и $B$ се подава напрежение $U_{AB}$ , което бавно се променя с времето $t$ , както е показано на Фигура 2. Зависимостта на съпротивлението $R_x$ от напрежението $U_x$ е:

R_x = \begin{cases} 3\ \Omega, & \text{ако } U_x \le 3\ \mathrm{V};\\ 6\ \Omega, & \text{ако } U_x > 3\ \mathrm{V}.\end{cases}

Електрическа схема с три еднакви елемента R_x и амперметър между точки A и B. — Фигура 1. Електрическата схема между точките $A$ и $B$ : един елемент $R_x$ последователно с два успоредно свързани елемента $R_x$ и идеален амперметър.

а) Представете показанията на амперметъра от Фигура 1 като функция на времето – таблично и графично. [9,5 т.]

б) Приемете, че амперметърът е идеален. В кой момент от време мощността на тока през веригата е максимална. Пресметнете тази мощност. [0,5 т.]

Отговори

Решение

Еквивалентна верига с два резистора R_1 и R_2 последователно и амперметър. — Еквивалентната схема: $R_1 = R_x$ последователно с $R_2 = R_x/2$ , напрежения $U_1$ и $U_2$ , ток $I$ през амперметъра.

1. Два от елементите на Фиг. 1 са успоредно свързани, тоест напрежението върху тях ще е едно и също и те ще променят съпротивлението си едновременно. Тогава еквивалентната схема на Фиг. 1 ще е като на горната фигура, където с $U_1$ и $U_2$ са означени напреженията върху двата елемента – $R_1$ и $R_2$ . Тъй като във всеки един момент от време $t$ е изпълнен законът на Ом, тогава може да запишем $U_i = IR_i$ , $i = 1, 2$ . Освен това $U_1 + U_2 = U_{AB}$ . От последните две равенства може да определим тока през амперметъра:

I(t) = U_{AB}(t)/(R_1 + R_2). \qquad (1.1)

(0,8 т.)

От графиката на Фигура 2 се вижда, че зависимостта на $U_{AB}(t)$ е:

U_{AB}(t) = \begin{cases} at, & \text{ако } t \in [0, 27]\ \mathrm{s};\\ b - at, & \text{ако } t \in (27, 54]\ \mathrm{s},\end{cases}

където $a = 1$ V/s, $b = 54$ V. (0,2 т.)

За да определим в кои моменти от време $t$ елементите $R_x$ си променят съпротивлението, ще използваме следната последователност: съобразяваме какво ще бъде напрежението върху елементите; определяме съпротивлението им; пресмятаме тока през амперметъра; намираме условието, от което може да се определи момента от време, в който съпротивлението се променя; пресмятаме съответното време. За нагледност ще запишем резултатите в таблица:

$R_1$ ( $\Omega$ )	$R_2$ ( $\Omega$ )	$I_{AB}$ (A)	Условие, от което се определя $t$	$t$ (s)
3	1.5	$2t/9$	$U_1 = IR_1 \le 3$ V, $0$ s $\le t \le 27$ s	4.5
6	1.5	$2t/15$	$U_2 = IR_2 \le 3$ V, $4.5$ s $\le t \le 27$ s	15
6	3	$t/9$	$U_1 > 3$ V, $U_2 > 3$ V, $15$ s $\le t \le 27$ s	27
6	3	$(54 - t)/9$	$U_2 = IR_2 \le 3$ V, $27$ s $\le t \le 54$ s	45
6	1.5	$2(54 - t)/15$	$U_1 = IR_1 \le 3$ V, $45$ s $\le t \le 54$ s	50.25
3	1.5	$2(45 - t)/9$	$U_1 \le 3$ V, $U_2 \le 3$ V, $50.25$ s $\le t \le 54$ s	54

(4,5 т.)

След като сме определили големината на тока и моментите от време, в които елементите сменят съпротивлението си, може да попълним таблицата за $I(t)$ , (2 т.) както и да начертаем графиката: (2 т.)

Графика I_AB (A) спрямо t (s) с максимум 3 A при t = 27 s и прекъсвания при смяна на съпротивленията. — Графика на тока през амперметъра $I_{AB}$ като функция на времето $t$ със скоковете при $t = 4{,}5$ ; $15$ ; $45$ и $50{,}25$ s.

$t$ (s)	$I_{AB}$ (A)
0	0
4.5	1
4.5	0.6
15	2
15	1.67
27	3
45	1
45	1.2
50.25	0.5
50.25	0.83
54	0

Мощността на тока се определя от израза $P = UI$ . От дадената зависимост на $U(t)$ и от получената зависимост $I(t)$ се вижда, че $P$ ще е максимална когато $t = 27$ s, (0,25 т.) а стойността ѝ ще е $P = 81$ W. (0,25 т.)

Оригинал в Архива: esenni_2018_9problems.pdf · официални решения: esenni_2018_9solutions.pdf