Съдържание

НЕСФ 2018, 9. клас — Задача 3. Догонване на влака и максимална скорост

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2018

Национално есенно състезание по физика 2018, тема за 9. клас, трета състезателна група · 1 ноември 2018 г. · 10 т.

Условие

Последният вагон на влак се намира на разстояние $l$ от изхода на подлеза на перона. Пътник за същия влак излиза от подлеза, но забелязва, че влакът тръгва с постоянно ускорение $a$ .

а) С каква минимална скорост $v_0$ трябва да бяга човекът, за да догони влака? Колко време $t_0$ ще бяга човекът и на какво разстояние $x_0$ от изхода на подлеза ще хване влака? [5 т.]

б) Нека влакът има маса $m$ и мощност $P$ . Каква ще е максималната скорост на влака, ако знаем, че над определена скорост $v$ съпротивителната сила действаща на влака се дава с израза $f_{\mathrm{с}} = \mu N + kv$ , където $\mu$ и $k$ са известни константи, а $N$ е нормалната реакция на опората, действаща на влака? [5 т.]

Отговори

Решение

3. Нека за начало на координатната система изберем изхода на подлеза, а положителната посока на оста $x$ да съвпада с посоката на ускорението на влака. В тази отправна система законите за движение на последния вагон на влака и човека имат следния вид:

\begin{aligned} x_{\mathrm{в}} &= l + at^2/2,\\ x_{\mathrm{ч}} &= vt. \end{aligned}

За да се качи на влака, човекът и последният вагон трябва да са на едно и също място $x_{\mathrm{в}} = x_{\mathrm{ч}}$ , в някакъв момент от време $t$ . (2,5 т.) Като приравним десните части на последните равенства получаваме квадратно уравнение за времето $t$ , $at^2 - 2vt + 2l = 0$ . Корените на това уравнение са $t_{1,2} = \dfrac{v}{a}\left(1 \pm \sqrt{1 - \dfrac{2al}{v^2}}\right)$ . Те съответстват на $v > \sqrt{2al}$ , ние търсим минималната скорост, която съответства на решение $t_0 = v_0/a$ , което се определя от условието $v = \sqrt{2al} = v_0$ . След като вече сме намерили минималната скорост и времето на движение, тогава лесно може да пресметнем $x_0 = 2l$ . (2,5 т.)

При достигане на максимална скорост, ускорението на влака ще е нула, тоест силата създавана от двигателя на влака $F$ ще се изравни със съпротивителната сила $f_{\mathrm{с}}$ . Тогава може да запишем, че $P = F v_{\max} = (\mu N + k v_{\max}) v_{\max} = \mu m g v_{\max} + k v_{\max}^2$ . (3 т.) Прехвърляме всичко от едната страна на равенството и получаваме квадратно уравнение за скоростта $v_{\max}$ . В случая физичен смисъл има само решението

v_{\max} = \frac{\mu m g}{2k}\left[\sqrt{1 + \frac{4kP}{(\mu m g)^2}} - 1\right].

(2 т.)

Оригинал в Архива: esenni_2018_9problems.pdf · официални решения: esenni_2018_9solutions.pdf