Съдържание

НЕСФ 2018, Специална тема — Задача 2. Механика

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2018

Национално есенно състезание по физика, гр. Сандански, 1-3 ноември 2018 г. — Специална тема · 1 ноември 2018 г. · 10 т.

Условие

Част 1

Фигура 3 показва изображение от телескопа Хъбъл на Fomalhaut b – първата планета извън Слънчевата система, наблюдавана във видима светлина. Планетата обикаля в орбита около звездата Fomalhaut. Мащабът на по-голямото изображение е показан в долния ляв ъгъл на Фиг. 3.

Фиг. 3. Fomalhaut b, мащабът и снимките от 2004 и 2006 г.

а) Планетата обикаля по кръгова орбита с радиус $R_B$ и период $T_B$ . За две години тя изминава разстояние s, което може да бъде измерено от фигурата. Изведете израз за масата $M_B$ на звездата, съдържащ $R_B$ , $T_B$ , масата на Слънцето $M_S$ и фундаментални константи. [2 т.]

б) Оценете масата на звездата в Слънчеви маси. Приемете, че орбитата на планетата е кръгова и че равнината на орбитата съвпада с равнината на изображението. Спомнете си, че Земята обикаля около Слънцето по орбита с радиус 1 астрономична единица ( $R_S = 1$ AU) за 1 година ( $T_S = 1$ Y). [1 т.]

в) Въведете означението $r = \dfrac{M_B}{M_S}$ . Оценете относителната грешка на r, при положение, че относителните грешки при измерване на s и $R_B$ са 10%. Напишете долна и горна граница за r. [2 т.]

Упътване: Нека $r = \alpha X^a Y^b Z^c$ , където α, a, b и c са константи, а X, Y и Z са променливи. Ако дефинираме грешката в r като средноквадратично отклонение от средната стойност: $\Delta r = \sqrt{\overline{r^2}}$ , относителната грешка се смята по следната формула:

\left(\frac{\Delta r}{r}\right)^2 = \left(a\frac{\Delta X}{X}\right)^2 + \left(b\frac{\Delta Y}{Y}\right)^2 + \left(c\frac{\Delta Z}{Z}\right)^2

Част 2

Маслена капка с маса m и пренебрежими размери е изстреляна вертикално нагоре със скорост $v_0$ . Силата на съпротивлението от страна на въздуха е пропорционална на скоростта: $F = -kv$ . Капката се издига до височина h и след време $t_f$ пада в първоначалната точка от своята траектория. Земното ускорение е g. Намерете:

г) израз за скоростта v на капката като функция на времето t; [2 т.]

д) времето $t_h$ , за което капката се издига до най-високата точка от траекторията си; [1 т.]

е) максималната височина h. [2 т.]

Решение

Част 1

а) Силата, с която звездата привлича планетата, е $F = \dfrac{GMm}{R^2}$ , която се явява центростремителна: $F = \dfrac{mv^2}{R}$ . Така извеждаме третия закон на Кеплер: $\dfrac{R^3}{T^2} = \dfrac{GM}{4\pi^2}$ [1 т.]. За да изразим в Слънчеви маси, формираме отношението: $\dfrac{M_B}{M_S} = \left(\dfrac{R_B}{R_S}\right)^3 \left(\dfrac{T_S}{T_B}\right)^2$ . [1 т.]

б) От фигурата намираме следното съотношение: $\dfrac{R_B}{R_S} \approx 110$ .

За $\tau = 2$ години планетата изминава s = 1.4 AU. Така намираме за периода: $\dfrac{T_B}{T_S} \approx 987$ ( $T_B = \dfrac{2\pi R_B}{s}\tau$ ). Следователно $\dfrac{M_B}{M_S} \approx 1.37$ . [1 т.]

в) За грешката намиране: $T_B = \dfrac{2\pi R_B}{s}\tau$ , $\left(\dfrac{\Delta T_B}{T_S}\right)^2 = \left(\dfrac{\Delta R_B}{R_B}\right)^2 + \left(\dfrac{\Delta s}{s}\right)^2$ , $\dfrac{\Delta T_B}{T_B} = 10\sqrt{2}\%$ [1 т.]

$\left(\dfrac{\Delta r}{r}\right)^2 = \left(3\dfrac{\Delta R_B}{R_B}\right)^2 + \left(2\dfrac{\Delta T_B}{T_S}\right)^2$ , $\dfrac{\Delta r}{r} \approx 40\%$ , $0.82 \le r \le 1.97$ [1 т.]

Част 2

г) На капката действат две сили: гравитационна сила и сила на съпротивление от страна на въздуха. Имаме $m\dfrac{dv}{dt} = -mg - kv$ . Разделяме променливите: $\dfrac{dv}{g + \frac{k}{m}v} = -dt$ [1 т.]. След интегриране получаваме $v(t) = (v_0 + v_{\mathrm{T}})e^{-\frac{k t}{m}} - v_{\mathrm{T}}$ , където $v_{\mathrm{T}} = \dfrac{mg}{k}$ . [1 т.]

д) Капката се издига, докато скоростта стане нула. За времето намираме $t = \dfrac{m}{k}\ln\left(1 + \dfrac{v_0}{v_{\mathrm{T}}}\right)$ . [1 т.]

е) Имаме $dh = v\,dt$ [1 т.]. След интегриране получаваме $h = \dfrac{v_0 v_{\mathrm{T}}}{g} - \dfrac{v_{\mathrm{T}}^2}{g}\ln\left(1 + \dfrac{v_0}{v_{\mathrm{T}}}\right)$ [1 т.].

Оригинал в Архива: esenni_2018_STproblems.pdf · официални решения: esenni_2018_STsolutions.pdf