НЕСФ 2018, Специална тема — Задача 3. Ефект на Доплер

Част 1

а) От значение е компонентата на скоростта, насочена към приемника B. Скоростта на звука в средата е винаги $c$ и не зависи от скоростта на източника. Ефектът е, че се намалява дължината на вълната, тъй като източникът „гони“ вълната, която излъчва. Редуцираната дължина на вълната в посока на приемника е $\lambda' = \lambda - vT\cos\theta$ [1 т.]. Ефектът е, че честотата нараства: $f' = \dfrac{c}{\lambda'} = \dfrac{f}{1 - (v/c)\cos\theta}$. [1 т.]

Част 2

б) За приближаващ се източник $\theta = 0$, при което $f_a = \dfrac{f}{1 - (v/c)}$, а за отдалечаващ се източник имаме $\theta = \pi$, при което $f_b = \dfrac{f}{1 + (v/c)}$. Така намираме $v = \left(\dfrac{f_a}{f_b} - 1\right)\dfrac{c}{2} \approx 10.66$ m/s [0.5 т.], $f = \dfrac{f_a + f_b}{2} \approx 435$ Hz. [0.5 т.]

в) Означаваме оста, по която се движи източникът, с x, като x = 0 съответства на точката на максимална близост (и разстояние d). При $|x| \ll d$ имаме $\cos\theta \approx x/d$. Така намираме $f' \approx \dfrac{f}{1 - (v/c)(x/d)}$ [1 т.]. Смятаме производна по времето и заместваме x = 0: $\dfrac{df'}{dt} = \dfrac{f v^2}{c d}$ [1 т.]. От фигурата определяме производната в центъра и намираме $d \approx 18$ m. [1 т.]

Част 3

г) Козирката се движи към звуковата вълна, при което ефективно скоростта на звука се увеличава на $v' = c + v$ [1 т.]. Така намираме честотата, с която козирката „чува“ звука: $f' = f\left(1 + \dfrac{v}{c}\right) = f\left(1 + \dfrac{gt}{c}\right)$. [1.5 т.]

д) Падащата козирка отразява звук с честота $f'$. Използваме резултата от подточка а) на част 2, за да намерим честотата, с която човекът чува отразения от козирката звук $f'' = \dfrac{f'}{1 - \frac{v}{c}} = f\,\dfrac{c + gt}{c - gt}$. [2.5 т.]