Съдържание

НЕСФ 2022, 10. клас — Задача 3. Електрически вериги

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2022

Национално есенно състезание по физика, 11 – 13 ноември 2022 г., Сливен — Тема за IV състезателна група (10. клас) · 11 ноември 2022 г. · 10 т.

Условие

(задачата се състои от две независими части)

Част I (3,5 т.)

В електрическата верига на фигурата по-горе вляво всички резистори са с еднакво съпротивление $R_0$ . Да се намери съпротивлението $R_{\mathrm{AB}}$ между точките A и B. Колко пъти ще нарастне съпротивлението между точките A и B, ако премахнем проводника между точките C и D?

Част II

Батерия с неизвестно електродвижещо напрежение $\mathcal{E}$ , пет резистора с неизвестни съпротивления ( $R$ , $2R$ и $R/2$ ), идеален амперметър и идеален волтметър са свързани по начина, представен на фигурата по-горе вдясно. Токът през амперметъра е $I = 0{,}1\ \mathrm{A}$ , а напрежението измерено от волтметъра е $U = 3\ \mathrm{V}$ .

а) Намерете стойностите на $R$ и $\mathcal{E}$ . Какъв е токът $I_{\mathcal{E}}$ , който протича през батерията? [4 т.]

б) Ако откачим амперметъра, с колко процента ще намалее токът през батерията? [2,5 т.]

Решение

Част I

Електрическата верига може да се представи еквивалентно по начина, показан на фигурата вляво. Горните двойки от успоредно свързани резистори са еквивалентни на резистор със съпротивление $2(R_0/2) = R_0$ . [0,5 т.] Оттук следва, че съпротивлението между точките A и B е $R_{\mathrm{AB}} = R_0/3$ . [0,5 т.] Веригата след премахване на проводника.

Ако премахнем проводника между точките C и D, ще получим веригата по-горе вдясно. [1 т.] Съпротивлението на оградената част от веригата е $\dfrac{2R_0(R_0/2)}{2R_0+R_0/2} = \dfrac{2R_0}{5}$ . [0,5 т.] Еквивалентното съпротивление между точките A и B ще бъде $R'_{\mathrm{AB}} = \dfrac{R_0(7R_0/5)}{R_0+7R_0/5} = \dfrac{7R_0}{12}$ [0,5 т.], т.е. съпротивлението нараства $\dfrac{R'_{\mathrm{AB}}}{R_{\mathrm{AB}}} = \dfrac{7}{4} = 1{,}75$ пъти [0,5 т.].

Част II

Оградената част на веригата с измервателни уреди.

а) Може да се съобрази, че волтметърът показва напрежението върху двата най-десни резистора, като токът през тях е същият като тока през амперметъра. Следователно $U = 3IR$ [1 т.] и $R = \dfrac{U}{3I} = 10\ \Omega$ [0,5 т.]. Съпротивлението на оградената част от веригата (вж. фигурата вляво) е $R_{\mathrm{огр}} = \dfrac{3R(R/2)}{3R+R/2} = \dfrac{3R}{7}$ . [0,5 т.] Еквивалентното съпротивление на веригата е $R_{\mathrm{екв}} = R + \dfrac{RR_{\mathrm{огр}}}{R+R_{\mathrm{огр}}} = R + \dfrac{R(3R/7)}{R+3R/7} = R + \dfrac{3R}{10} = \dfrac{13R}{10}$ . [0,5 т.] Токът през батерията е $I_{\mathcal{E}} = \dfrac{\mathcal{E}}{R_{\mathrm{екв}}} = \dfrac{10\mathcal{E}}{13R} = \dfrac{30\mathcal{E}}{13U}I$ . [0,5 т.] От друга страна, $I_{\mathcal{E}} = \dfrac{10U}{3R} = 10I$ [0,5 т.], т.е. $\mathcal{E} = \dfrac{13U}{3} = 13\ \mathrm{V}$ [0,5 т.].

б) Откачването на амперметъра е еквивалентно на откачване на двата най-десни резистора, тъй като през тях вече няма да тече ток. [0,5 т.] По този начин веригата ще има съпротивление $R'_{\mathrm{екв}} = R + \dfrac{R(R/2)}{R+R/2} = \dfrac{4R}{3}$ [0,5 т.] и токът през батерията ще бъде $I'_{\mathcal{E}} = \dfrac{\mathcal{E}}{R'_{\mathrm{екв}}} = \dfrac{13U}{4R} = \dfrac{39}{4}I$ [0,5 т.]. Процентното намаление на тока през батерията е $\dfrac{I_{\mathcal{E}}-I'_{\mathcal{E}}}{I_{\mathcal{E}}} = \dfrac{1}{40} = 2{,}5\,\%$ . [1 т.]

Оригинал в Архива: esenni_2023_10problems.pdf · официални решения: esenni_2023_10solutions.pdf