Съдържание

НЕСФ 2022, 12. клас — Задача 1. Натриев дублет

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2022

Национално есенно състезание по физика, 11 – 13 ноември 2022 г., Сливен — Тема за 12. клас (шеста възрастова група) · 11 ноември 2022 г. · 10 т.

Условие

Спектърът на светлината, излъчена от натриева газоразрядна лампа, съдържа две еднакво интензивни тесни линии с много близки дължини на вълните $\lambda_1 = 589,0$ nm и $\lambda_2 = 589,6$ nm. Успореден сноп светлина, излъчена от такава лампа, осветява перпендикулярно дифракционна решетка, която има $n = 2400$ процепи/cm. След решетката е разположена леща, която фокусира дифрактиралата светлина върху екран. Разстоянието от лещата до екрана е $l = 2$ m. Върху екрана се наблюдава дифракционна картина.

а) Изчислете разстоянията между първия (1) и минус първия (-1) дифракционен максимум $D_{-1,1}^{\lambda_1}$ и $D_{-1,1}^{\lambda_2}$ за всяка една от двете дължини на вълните на дублета с точност 0,1 mm. [5 т.]

б) Поради различни причини двете линии се наблюдават не като много тесни линии, а като тесни ивици, т.е. все едно всяка една от тях съдържа светлина с дължини на вълните в интервала съответно $[\lambda_1 - \Delta\lambda_1, \lambda_1 + \Delta\lambda_1]$ и $[\lambda_2 - \Delta\lambda_2, \lambda_2 + \Delta\lambda_2]$ . Приемете, че $\Delta\lambda_1 = \Delta\lambda_2 = \Delta\lambda$ . Величината $\Delta\lambda$ се нарича полуширина на линията. Ако на екрана тъмната ивица между двете близки светли ивици на дублета при първия дифракционен максимум, има широчина $x = 0,1$ mm, изчислете стойността на $\Delta\lambda$ . [5 т.]

Отговори

Решение

а) Разстоянието между процепите (константата на решетката) е $d = \frac{1}{n}$ . [0,5 т.] От формулата за дифракционната решетка $d\sin\theta = k\lambda$ , следва че $\sin\theta = \frac{k\lambda}{d} = nk\lambda$ . [0,5 т.] В разглеждания случай $k = \pm 1$ . Следователно $\sin\theta_1 = 2400\frac{1}{10^{-2}\mathrm{m}}\cdot 589,0\cdot 10^{-9}\mathrm{m} = 0{,}141360$ , а $\sin\theta_2 = 2400\frac{1}{10^{-2}\mathrm{m}}\cdot 589,6\cdot 10^{-9}\mathrm{m} = 0{,}141504$ . Разстоянията между първия (1) и минус първия (-1) дифракционен максимум $D_{-1,1}^{\lambda_1}$ и $D_{-1,1}^{\lambda_2}$ за всяка една от двете дължини на вълните на дублета са съответно $D_{-1,1}^{\lambda_1} = 2l\tan\theta_1 = 0{,}5712$ m [2 т.] и $D_{-1,1}^{\lambda_2} = 2l\tan\theta_2 = 0{,}5718$ m. [2 т.]

б) Разстоянието между (средите на) двата съседни първи максимума е $\frac{D_{-1,1}^{\lambda_2}-D_{-1,1}^{\lambda_1}}{2} = 0{,}3$ mm. [1 т.] Можем да приемем, че в такъв тесен интервал от дължини на вълните, позицията зависи линейно от дължината на вълната. [1 т.] Тогава $\dfrac{\dfrac{D_{-1,1}^{\lambda_2}-D_{-1,1}^{\lambda_1}}{2}}{x} = \dfrac{\lambda_2-\lambda_1}{\lambda_2-\lambda_1-2\Delta\lambda}$ , откъдето $\Delta\lambda = \frac{\lambda_2-\lambda_1}{2}\left[1 - \dfrac{x}{\dfrac{D_{-1,1}^{\lambda_2}-D_{-1,1}^{\lambda_1}}{2}}\right] = 0{,}2$ nm. [3 т.]

Оригинал в Архива: esenni_2023_12problems.pdf · официални решения: esenni_2023_12solutions.pdf