НЕСФ 2022, 12. клас — Задача 3. Подскачане на топка

• а) $t_1^2 - 4t_1 + 3 = 0 \Rightarrow t_1 = 1\ \mathrm{s}$

  Второто решение $t_1 = 3$ s отпада, защото води до $v_0 = -10$ m/s (топка, хвърлена нагоре).

• б) $v_0 = \frac{s_1 - \frac{1}{2}gt_1^2}{t_1} = 10\ \mathrm{m/s}$

• в) $t_{\text{пад}}^2 + 2t_{\text{пад}} - 15 = 0 \Rightarrow t_{\text{пад}} = 3\ \mathrm{s}$

• г) $v_{\text{пад}} = \sqrt{v_0^2 + 2gh} = 40\ \mathrm{m/s}$

• д) $v_1 = \sqrt{k}\,v_{\text{пад}} = 32\ \mathrm{m/s}$

• е) $T = t_{\text{пад}} + t_{1,\infty} = t_{\text{пад}} + \frac{2v_1}{g}\cdot\frac{1}{1-\sqrt{k}} = 3\ \mathrm{s} + 32\ \mathrm{s} = 35\ \mathrm{s}$

а) За време $t_1$ топката ще измине път $s_1 = v_0t_1 + \frac{1}{2}gt_1^2$ (1). [0,2 т.] За време $t_1 + 1$ топката ще измине път $s_2 = v_0(t_1+1) + \frac{1}{2}g(t_1+1)^2$ (2). [0,2 т.] Ако умножим (1) по $t_1 + 1$, умножим (2) по $t_1$ и извадим (1) от (2) се получава $s_2t_1 - s_1(t_1+1) = \frac{1}{2}g(t_1+1)t_1$. [0,6 т.] Замествайки с дадените стойности получаваме $t_1^2 - 4t_1 + 3 = 0$. [0,2 т.] Решенията му са $t_1 = 1$ s и $t_1 = 3$ s. [0,2 т.] След пресмятане на началната скорост $v_0$ в следващото подусловие правим извода, че вярната стойност е $t_1 = 1$ s. [0,6 т.]

б) Замествайки получените стойности за $t_1$ в (1), $v_0 = \frac{s_1 - \frac{1}{2}gt_1^2}{t_1}$ [0,2 т.] се получават скорости $v_{0,1} = 10$ m/s (за $t_1 = 1$ s) [0,2 т.] и $v_{0,2} = -10$ m/s (за $t_1 = 3$ s) [0,2 т.] (вторият случай съответства на случая, ако топката е хвърлена нагоре). Затова $v_0 = 10$ m/s. [0,4 т.]

в) Времето на падане (до първия удар в земната повърхност) $t_{\text{пад}}$ се изчислява пак от (1) като заместим $s_1$ с $h$ и $t_1 = t_{\text{пад}}$, $h = v_0t_{\text{пад}} + \frac{1}{2}gt_{\text{пад}}^2$. [0,2 т.] Замествайки с дадените и пресметнатите стойности получаваме $t_{\text{пад}}^2 + 2t_{\text{пад}} - 15 = 0$. [0,2 т.] Решения на уравнението са $t_{\text{пад},1} = 3$ s и $t_{\text{пад},2} = -4$ s. Следователно $t_{\text{пад}} = 3$ s. [0,6 т.]

г) Скоростта на падане $v_{\text{пад}}$ (точно преди първия удар в земната повърхност) може да се намери от закона за запазване на механичната енергия, $\frac{mv_0^2}{2} + mgh = \frac{mv_{\text{пад}}^2}{2}$ , [1 т.] откъдето $v_{\text{пад}} = \sqrt{v_0^2 + 2gh}$. [0,5 т.] (Или от закона за скоростта $v_{\text{пад}} = v_0 + gt_{\text{пад}}$. [0,5 т.]) Замествайки, $v_{\text{пад}} = 40$ m/s. [0,5 т.]

д) Тъй като след първия удар остава '$k$ енергия от тази преди удара, то $\frac{mv_1^2}{2} = k\frac{mv_{\text{пад}}^2}{2}$ , [0,4 т.] откъдето $v_1 = \sqrt{k}\,v_{\text{пад}}$. [0,3 т.] След заместване $v_1 = 32$ m/s. [0,3 т.]

е) Нека скоростта на топката след $i$-ия удар е $v_i$. Тогава времето $t_{i,i+1}$ между $i$-ия удар и $i+1$-ия удар ще бъде $t_{i,i+1} = \frac{2v_i}{g}$. [0,5 т.] Сумирайки времената между първия и втория удар, втория и третия удар и тъй нататък, получаваме, че времето от първия удар докато топката спре да подскача, е $t_{1,\infty} = \frac{2v_1}{g} + \frac{2v_2}{g} + \frac{2v_3}{g} + \cdots$ [0,5 т.] $= \frac{2v_1}{g} + \frac{2\sqrt{k}v_1}{g} + \frac{2\left(\sqrt{k}\right)^2v_1}{g} + \cdots\ = \frac{2v_1}{g}\left(1 + \sqrt{k} + \left(\sqrt{k}\right)^2 + \left(\sqrt{k}\right)^3 + \cdots\right) = \frac{2v_1}{g}\frac{1}{1-\sqrt{k}}$ . [1 т.] Замествайки с дадените стойности $t_{1,\infty} = 32$ s. [0,5 т.] Тъй като $T = t_{\text{пад}} + t_{1,\infty}$ , $T = 35$ s. [0,5 т.]