Съдържание

НЕСФ 2022, 9. клас — Задача 2. Събирателна леща и огледало

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2022

Национално есенно състезание по физика, 11 – 13 ноември 2022 г., Сливен — Тема за 9. клас (трета възрастова група) · 11 ноември 2022 г. · 10 т.

Условие

В тази задача ще се разгледа как работят събирателна леща и огледало, поставено на някакво разстояние зад нея, така че да е перпендикулярно на нейната ос. Фокусното разстояние на лещата е $f$ . Светлинните лъчи (светлинният сноп) от светлинен източник преминават през лещата, отразяват се от огледалото и на връщане пак преминават през лещата.

а) На Фиг. 1 светлинният точков източник $S$ се намира на разстояние $x = f$ от лещата и лежи на нейната ос. Огледалото се намира на неизвестно разстояние $l$ от лещата. Как ще изглежда (къде ще се събира) завръщащият се от лещата светлинен сноп? [2,5 т.]

Хоризонтална оптична ос; вляво щрихована вертикална линия с надпис „огледало“, в средата двустранна вертикална стрелка с надпис „леща“; разстоянието между тях е означено с $l$, а вдясно от лещата е отбелязано $x = f$ до точка $S$ върху оста. — Фиг.1 — точковият източник $S$ е на разстояние $x = f$ от лещата, огледалото е на неизвестно разстояние $l$ зад нея.

б) На Фиг. 2 светлинният точков източник $S$ се намира безкрайно далеч от лещата (пада успореден светлинен сноп) и лежи на нейната ос. Огледалото се намира на разстояние $l = f$ от лещата. Как ще изглежда (къде ще се събира) завръщащият се от лещата светлинен сноп? [2,5 т.]

Хоризонтална оптична ос; вляво щрихованото огледало, в средата лещата (двустранна вертикална стрелка); означено е $l = f$; отдясно два хоризонтални лъча със стрелки, насочени наляво към лещата, плюс самата оптична ос. — Фиг. 2 — успореден сноп пада върху лещата, огледалото е на разстояние $l = f$ от нея.

в) На Фиг. 3 светлинният точков източник $S$ се намира безкрайно далеч от лещата (пада успореден светлинен сноп) и лежи на нейната ос. Огледалото се намира на разстояние $l = \frac{3}{2}f$ от лещата. Как ще изглежда (къде ще се събира) завръщащият се от лещата светлинен сноп? [2,5 т.]

Хоризонтална оптична ос; вляво щрихованото огледало, в средата лещата; означено е $l = \tfrac{3}{2}f$; отдясно два хоризонтални лъча със стрелки, насочени наляво към лещата, плюс самата оптична ос. — Фиг. 3 — успореден сноп пада върху лещата, огледалото е на разстояние $l = \frac{3}{2}f$ от нея.

г) На Фиг. 4 светлинният точков източник $S$ се намира на разстояние $x = 2f$ от лещата и лежи на нейната ос. Огледалото се намира на разстояние $l = \frac{3}{2}f$ от лещата. Как ще изглежда (къде ще се събира) завръщащият се от лещата светлинен сноп? [2,5 т.]

Хоризонтална оптична ос; вляво щрихованото огледало, в средата лещата; означени са $l = \tfrac{3}{2}f$ вляво от лещата и $x = 2f$ вдясно до точка $S$ върху оста. — Фиг. 4 — точковият източник $S$ е на разстояние $x = 2f$ от лещата, огледалото е на $l = \frac{3}{2}f$ зад нея.

Отговори

Решение

а) Тъй като източникът $S$ се намира във фокуса на лещата, всеки излязъл от него лъч след пречупване от лещата ще бъде успореден на оста на лещата. (Фиг.1) [1 т.] При отражението си от огледалото, тъй като лъчът пада перпендикулярно на огледалото, той ще се отрази също перпендикулярно. [0.5 т.] Следователно лъчът ще се върне точно по пътя, по който е дошъл, и ще премине пак през фокуса. Следователно снопът ще се фокусира в точка $S$ (във фокуса). [1 т.]

б) Тъй като всеки идващ светлинен лъч е успореден на оста на лещата, след пречупване от нея, той ще премине през фокуса на лещата. (Фиг.2) [0.5 т.] Тъй като огледалото се намира от лещата на разстояние, равно на фокусното, то фокусът лежи в равнината на огледалото. [0.5 т.] Следователно отразените от огледалото лъчи ще идват от фокуса. [0.5 т.] След пречупване от лещата, те ще бъдат успоредни на оптичната ос (снопът ще остане успореден). [1 т.]

в) На Фиг. 3 са нарисувани 2 лъча, пречупени от лещата (сините), отразения лъч на единия от тях от огледалото (червения) и неговия пречупен от лещата на връщане (зеления). Тъй като сините лъчи минават през фокуса $F$ , [0.5 т.] то сравнявайки триъгълниците $27F$ и $34F$ , се определя, че отсечките $2O$ и $34$ са равни. [0.5 т.] Тъй като отсечките $13$ и $24$ са успоредни, то точка $5$ трябва да е на разстояние $f$ от лещата. [0.5 т.] Тъй като триъгълниците $125$ и $56M'$ са еднакви, то $OF' = F'M'$ , откъдето следва, че образът $M'$ ще се намира на разстояние $2f$ от лещата (там ще се съберат завръщащите се от лещата лъчи). [1 т.]

г) Най-краткото решение е да се използва резултатът от предишното подусловие в). Ако се използва същия чертеж, но лъчите се разпространяват в обратна посока (известно като правило за обратимост на лъчите) веднага се получава, че когато източникът е на разстояние $2f$ , след пречупване, отражение и отново пречупване, лъчите са успоредни на оста на лещата, т.е. снопът е успореден. [2.5 т.]

Същата схема като Фиг. 1 от условието, но с начертан лъч от $S$ през лещата до огледалото и обратно, със стрелки за посоката на разпространение. — Фиг.1 (решение) — ходът на лъч от източника $S$ във фокуса: след лещата успореден на оста, отразява се перпендикулярно от огледалото и се връща по същия път.

Схема с огледало вляво и леща в средата; два лъча от дясно се пречупват към точка върху огледалото и се връщат, като излизат успоредни на оста. — Фиг. 2 (решение) — успоредният сноп се пречупва през фокуса, който лежи в равнината на огледалото, и след отражение и второ пречупване излиза отново успореден.

Лъчево построение с огледало вляво и леща в средата; отсечките и точките са номерирани с цифри 1–7, върху оста са означени $M$, $F$, $O$, $F'$ и $M'$; в оригинала лъчите са цветни, но сканът е черно-бял. — Фиг. 3 (решение) — построение с означени точки 1–7, фокусите $F$ и $F'$ , центъра $O$ и образите $M$ и $M'$ ; завръщащите се лъчи се събират в $M'$ на разстояние $2f$ от лещата.

Хоризонтална оптична ос с огледало вляво, леща в средата, означения $l = \tfrac{3}{2}f$ и $x = 2f$ и точков източник $S$ вдясно. — Фиг. 4 (решение) — схемата от условието на подусловие г), решавана чрез обратимост на лъчите.

Оригинал в Архива: esenni_2023_9problems.pdf · официални решения: esenni_2023_9solutions.pdf