Съдържание

НЕСФ 2023, 10. клас — Задача 3. Пружинно махало

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2023

Национално есенно състезание по физика, 17-19 ноември 2023 г., Копривщица — Тема за 10.клас (IV състезателна група) · 17 ноември 2023 г. · 10 т.

Условие

Пружина, закачена за таван, с топче с маса m в долния край; под нея — хоризонтална синя линия, представяща металната равнина. — Фиг. 2 — вертикално пружинно махало с коефициент на еластичност $k$ и маса $m$ над хоризонталната метална равнина.

А. Вертикално пружинно махало с коефициент на еластичност $\kappa_0 = 40\ \mathrm{N/m}$ и маса $m = 100\ \mathrm{g}$ е закачено над хоризонтална метална равнина. Когато на тялото с маса $m$ се придаде електричен заряд $q = 1\ \mathrm{\mu C}$ , махалото започва да трепти с амплитуда $a = 1\ \mathrm{cm}$ . Зарядът на махалото индуцира в металната равнина електричен заряд. Взаимодействието на заряда $q$ със заряда на металната равнина може да се опише като взаимодействие на заряда $q$ със заряд $q'$ със същата големина, който е разположен в мястото на огледалния образ на заряда $q$ спрямо равнината.

Указание. Константата в закона на Кулон $k = 9.10^9\ \mathrm{N.m^2/C^2}$ .

а) Определете периода $T_0$ на незареденото пружинно махало. [2 т.]

б) Какъв е знакът на заряда $q'$ ? [1 т.]

в) Определете честотата на хармоничните трептения на зареденото вертикално пружинно махало. [7 т.]

Отговори

Решение

Задача 3. а) По определение за период на пружинно махало имаме

T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{m}{\kappa_0}} \approx 0{,}31\ \mathrm{s}.

(2 т.)

б) Индуцираният в металната равнина електричен заряд е обратен по знак на заряда $q$ (0,5 т.). Следователно имаме $q' < 0$ (0,5 т.).

в) Нека равновесното положение на незареденото пружинно нахало се намира на височина $x_0$ над металната равнина. Тогава в равновесното положение на зареденото пружинно махало, което се намира на разстояние $a$ под другото (0,5 т.), ще бъде изпълнено условието

\kappa_0 a = \frac{e^2}{4(x_0-a)^2},

(1 т.)

където $e^2 = kq^2$ . Ако отклоним зареденото махало на разстояние $x$ вертикално надолу, възниква връщаща сила

F = \kappa_0(a+x) - \frac{e^2}{4(x_0-a-x)^2} =

= \kappa_0 a - \frac{e^2}{4(x_0-a)^2} + \kappa_0 x + \frac{e^2}{4}\left(\frac{1}{(x_0-a)^2} - \frac{1}{(x_0-a-x)^2}\right),

(2 т.)

откъдето намираме

F = \kappa_0 x + \frac{e^2}{4}\,\frac{\left[-2(x_0-a)x + x^2\right]}{(x_0-a)^2(x_0-a-x)^2}.

(1 т.)

Тази сила е еластична, когато $x \ll (x_0-a)$ и има вида

F \approx \left(\kappa_0 - \frac{e^2}{2(x_0-a)^3}\right)x.

(1 т.)

Тогава периодът

T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{\kappa_0 - \dfrac{e^2}{2(x_0-a)^3}}} = \frac{T_0}{\sqrt{1 - 4a\left(\dfrac{\kappa_0 a}{kq^2}\right)^{1/2}}} \approx 0{,}37\ \mathrm{s},

(1,5 т.)

където е отчетено, че

\frac{1}{(x_0-a)^3} = \left(\frac{4\kappa_0 a}{e^2}\right)^{3/2}.

Оригинал в Архива: esenni_2024_10problems.pdf · официални решения: esenni_2024_10solutions.pdf