НЕСФ 2023, 11. клас — Задача 1. Механика

Част I

Общата извършена работа $A$ от двамата работници е равна на нарастването на потенциалната енергия на всичката вода, извадена от кладенеца. Нека да означим плътността на водата с $\rho$, площта на напречното сечение на кладенеца с $S$, а големината на земното ускорение с $g$. Може да се съобрази, че $A = \rho g S h(d - h/2)$. [0,5 т.] Означаваме височината на водния стълб, който трябва да изгребе вторият работник, с $x$. Неговата работа е $\rho g S x\left(d - \frac{x}{2}\right) = \frac{A}{2} = \frac{\rho g S h}{2}\left(d - \frac{h}{2}\right)$. [0,5 т.] Оттук $2x(d - x/2) = h(d - h/2)$ и $x^2 - 2dx + h(d - h/2) = 0$. [0,5 т.] Физическото решение е $x = d - \sqrt{d^2 - hd + h^2/2}$. [1 т.] Първият работник изгребва вода с височина $h - x = h - d + \sqrt{d^2 - hd + h^2/2}$, откъдето следва, че търсеното отношение е $\frac{h-x}{x} = \frac{h - d + \sqrt{d^2 - hd + h^2/2}}{d - \sqrt{d^2 - hd + h^2/2}} = 2$, т.е. два пъти повече. [1 т.]

Част II

I а)

Преместването на футболната топка в хоризонтално направление до момента на удара е $L = v_0\cos\alpha\, t$. [0,5 т.] За това време топката се издига на височина $h_{\max} = v_0\sin\alpha\, t - \frac{gt^2}{2}$ [0,5 т.], докато топчето пада от височина $H$, т.е. $h_{\max} = H - \frac{v_0 t}{2} - \frac{gt^2}{2}$ [0,5 т.]. Оттук $t = \frac{2H}{v_0(1 + 2\sin\alpha)} = \frac{H}{v_0}$ и $L = \frac{2H\cos\alpha}{1 + 2\sin\alpha} = \frac{\sqrt{3}H}{2}$. [1 т.] Разстоянието е $D = \sqrt{L^2 + H^2} = \frac{\sqrt{7}H}{2} \approx 26\ \mathrm{m}$. [1 т.]

б) Футболната топка няма вертикална компонента на скоростта в момента на удара, т.е. $v_0\sin\alpha - gt = 0$ и $t = \frac{v_0\sin\alpha}{g} = \frac{H}{v_0}$. [0,5 т.] Следователно $v_0 = \sqrt{\frac{gH}{\sin\alpha}} = \sqrt{2gH} \approx 20\ \mathrm{m/s}$. [1 т.]

в) Изминалото време до удара е $t = \frac{H}{v_0} = \sqrt{\frac{H}{2g}} \approx 1\ \mathrm{s}$. [0,5 т.] Максималната височина на издигане е $h_{\max} = \frac{v_0 t}{2} - \frac{gt^2}{2} = \frac{H}{4} = 5\ \mathrm{m}$. [1 т.]