НЕСФ 2023, 11. клас — Задача 2. Трептящи системи

Част I

а)

В състояние на равновесие, на лявото трупче действа еластична сила $k\Delta\ell_0$ наляво и сила на опън $T_0$ надясно, като $k\Delta\ell_0 = T_0$. [0,5 т.] В същото време на дясното трупче действа силата на тежестта $m_д g$ надолу и сила на опън $2T_0$ (макарите са безмасови) нагоре, т.е. $m_д g = 2T_0$. [0,5 т.] Разтежението на пружината е $\Delta\ell_0 = \frac{T_0}{k} = \frac{m_д g}{2k} \approx 5\ \mathrm{cm}$. [0,5 т.]

б) Нека лявото трупче е отклонено на малко разстояние $x$ надясно от равновесното му положение. Тогава разтежението на пружината ще бъде $\Delta\ell = \Delta\ell_0 + x$ и еластичната сила ще има нова големина $k(\Delta\ell_0 + x)$. Съответната сила на опън на нишката ще означим с $T_x$. Сумарната хоризонтална сила върху лявото трупче ще бъде $F_л = k(\Delta\ell_0 + x) - T_x$. [0,5 т.] Сумарната вертикална сила върху дясното трупче ще стане $F_д = 2T_x - m_д g$. [0,5 т.] Двете трупчета ще трептят хармонично с един и същ период $T$, тъй като отклонението на дясното трупче от равновесната му височина е винаги наполовина от отклонението на лявото трупче от неговото равновесно положение. [0,5 т.] Може да разгледаме трептенията на двете трупчета поотделно, като въведем ефективни коефициенти на еластичност $k_л$ и $k_д$, при което $F_л = k_л x$, а $F_д = k_д x/2$. Като използваме изразите за силите по-горе и формулата $T = 2\pi\sqrt{\frac{m_л}{k_л}} = 2\pi\sqrt{\frac{m_д}{k_д}}$, ще получим, че $k_л = \frac{4m_л k}{4m_л + m_д}$. [1 т.] (Алтернативно, може да се използва сумарната кинетична енергия и фактът, че скоростта на дясното трупче е наполовина по-малка от скоростта на лявото трупче.) Следователно периодът на хармоничните трептения на системата е $T = \pi\sqrt{\frac{4m_л + m_д}{k}} = \frac{\pi}{5}\ \mathrm{s} \approx 0{,}6\ \mathrm{s}$. [1 т.]

Част II

I а)

Може да се съобрази, че максимална сила в т. О ще има при максимално разтегната пружина, т.е. в крайно дясно положение на теглилката. [0,5 т.] Отдясно на равновесното положение ластикът не е от значение и законът за запазване на енергията дава, че $\frac{mv_{\max}^2}{2} = \frac{k_П A_д^2}{2}$, където с $A_д$ сме означили разстоянието от равновесното положение до крайното дясно положение на теглилката (амплитудата отдясно). [0,5 т.] Като знаем, че $F_{\max} = k_П A_д$, получаваме $m = \frac{k_П A_д^2}{v_{\max}^2} = \frac{F_{\max}^2}{k_П v_{\max}^2}$. [1 т.]

б) Отляво на равновесното положение ластикът се държи като разтегната пружина и от закона за запазване на енергията следва, че $\frac{mv_{\max}^2}{2} = \frac{k_П A_л^2}{2} + \frac{k_Л A_л^2}{2}$, където с $A_л$ сме означили разстоянието от равновесното положение до крайното ляво положение на теглилката (амплитудата отляво). [0,5 т.] Търсеното разстояние е $d = A_л + A_д = v_{\max}\left(\sqrt{\frac{m}{k_П + k_Л}} + \sqrt{\frac{m}{k_П}}\right) = F_{\max}\left(\frac{1}{\sqrt{k_П(k_П + k_Л)}} + \frac{1}{k_П}\right)$. [1 т.]

в) От горните разсъждения може да се види, че за един период теглилката се намира отдясно на равновесното си положение за време $\pi\sqrt{\frac{m}{k_П}}$ [0,5 т.], а отляво – за време $\pi\sqrt{\frac{m}{k_П + k_Л}}$ [0,5 т.], т.е. $T = \pi\left(\sqrt{\frac{m}{k_П + k_Л}} + \sqrt{\frac{m}{k_П}}\right) = \frac{\pi F_{\max}}{v_{\max}}\left(\frac{1}{\sqrt{k_П(k_П + k_Л)}} + \frac{1}{k_П}\right)$ [0,5 т.].