Съдържание

НЕСФ 2023, 11. клас — Задача 3. Електрически вериги

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2023

Национално есенно състезание по физика, 17 – 19 ноември 2023 г., Копривщица — Тема за V състезателна група (11. клас) · 17 ноември 2023 г. · 10 т.

Бележка от източника

Всички задачи са съставени от две независими части!

Условие

Част I (4,5 т.)

Батерия с неизвестно електродвижещо напрежение $\mathcal{E}$ и неизвестно вътрешно съпротивление $r$ е свързана с резистор със съпротивление $R = 1\ \Omega$ , при което в резистора се отделя мощност $P_1 = 10\ \mathrm{W}$ . Ако свържем последователно две такива батерии със същия резистор, мощността в резистора става тройно по-голяма.

Намерете напрежението $\mathcal{E}$ и съпротивлението $r$ .

Част II

Веригата с два кондензатора, батерии и ключ.

Два кондензатора (с капацитети $C_1 = 2\ \mathrm{mF}$ и $C_2 = 3\ \mathrm{mF}$ ), две батерии (с неизвестни електродвижещи напрежения $\mathcal{E}$ и $2\mathcal{E}$ ), идеален амперметър и ключ К са свързани по начина, показан на фигурата вляво. В началото ключът е в положение 1, при което зарядът на долния кондензатор е $q_1 = 6\ \mathrm{mC}$ .

а) Намерете напрежението $\mathcal{E}$ на лявата батерия и заряда $q_2$ на горния кондензатор в тази ситуация. [2 т.]

б) Ключът е превключен в положение 2. На колко е равен общият заряд $Q$ , който протича през амперметъра след превключването? [2,5 т.]

в) Коментирайте какво се случва с всяка една от двете батерии след превключването – разреждат ли се, зареждат ли се или остават със същия заряд. [1 т.]

Решение

Част I

Еквивалентното съпротивление на свързването с една батерия е $R_1 = R + r$ . Токът през резистора е съответно $I_1 = \frac{\mathcal{E}}{R_1} = \frac{\mathcal{E}}{R+r}$ , а отделената мощност е $P_1 = I_1^2 R = \frac{\mathcal{E}^2 R}{(R+r)^2}$ . [1 т.] При свързването с две батерии еквивалентното съпротивление на веригата се увеличава и става $R_2 = R + 2r$ . Токът в този случай е $I_2 = \frac{2\mathcal{E}}{R_2} = \frac{2\mathcal{E}}{R + 2r}$ , докато мощността става $P_2 = I_2^2 R = \frac{4\mathcal{E}^2 R}{(R+2r)^2}$ . [1 т.] Оттук следва, че $\frac{P_2}{P_1} = \frac{4(R+r)^2}{(R+2r)^2} = 3$ и $8r^2 + 4Rr - R^2 = 0$ . [0,5 т.] Положителният корен на квадратното уравнение е $r = \frac{(\sqrt{3}-1)R}{4} \approx 0{,}18\ \Omega$ . [1 т.] Електродвижещото напрежение е $\mathcal{E} = (R + r)\sqrt{\frac{P_1}{R}} = \frac{(3+\sqrt{3})\sqrt{RP_1}}{4} \approx 3{,}7\ \mathrm{V}$ . [1 т.]

Част II

I а)

В началото долният кондензатор е директно свързан с дясната батерия, т.е. напрежението между неговите електроди е $2\mathcal{E} = \frac{q_1}{C_1}$ и съответно $\mathcal{E} = \frac{q_1}{2C_1} = 1{,}5\ \mathrm{V}$ . [1 т.] От външния контур на веригата може да се съобрази, че горният кондензатор е свързан с двете последователно свързани батерии, откъдето $q_2 = C_2(\mathcal{E} + 2\mathcal{E}) = 3C_2\mathcal{E} = 13{,}5\ \mathrm{mC}$ . [1 т.]

б) След превключването долният кондензатор се свързва директно с лявата батерия, което води до смяна на полярността на кондензатора и нов заряд $q_1' = C_1\mathcal{E}$ . [1 т.] Горният кондензатор е свързан по същия начин, т.е. при него няма промяна. [0,5 т.] Оттук следва, че изменението на зарядите на електродите на долния кондензатор се дължи единствено на ток от лявата батерия (през амперметъра) и съответно $Q = q_1 + q_1' = \frac{3q_1}{2} = 9\ \mathrm{mC}$ . [1 т.]

в) Тъй като горният електрод на долния кондензатор от положително зареден става отрицателно зареден, т.е. протича ток от горния електрод към отрицателния полюс на лявата батерия, то лявата батерия се разрежда. [0,5 т.] Запазването на зарядите върху електродите на горния кондензатор след превключването означава, че дясната батерия остава със същия заряд. [0,5 т.]

Оригинал в Архива: esenni_2024_11problems.pdf · официални решения: esenni_2024_11solutions.pdf · допълнителни данни: errata.txt