НЕСФ 2023, 7. клас — Задача 2. Плаващ съд

• $\rho_1 = 550\ \mathrm{kg/m^3},\quad \rho_2 = 2200\ \mathrm{kg/m^3},\quad \rho_3 = 1000\ \mathrm{kg/m^3}$

  Съдът се разполага вертикално (трите кубчета едно над друго), като кубчето с плътност $\rho_1 = 550\ \mathrm{kg/m^3}$ е най-отгоре.

Всяко от кубчетата има обем $V = a^3$ [0,5 т], като $a = 10$ cm $= 0,1$ m [1 т], а $V = 0{,}1.0{,}1.0{,}1 = 0,001$ m$^3$ [0,5 т]. Масата на третото кубче е $m_3 = 1$ kg. Тогава плътността му е $\rho_3 = \frac{m_3}{V} = \frac{1}{0{,}001} = 1000\ \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m^3}}$ [1 т].

След като съдът плава, като изцяло е потопен и е в равновесие, общата му плътност е колкото тази на глицерина $\rho_{\mathrm{общ}} = 1250\ \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m^3}}$ [1 т].

Общата маса е $M = m_1 + m_2 + m_3$ [0,5 т]. Знаейки, че $\rho_2 = 4.\rho_1$, то масата на второто кубче е $m_2 = 4m_1$ [0,5 т]. Общата маса е $M = \rho_{\mathrm{общ}}.V_{\mathrm{общ}} = \rho_{\mathrm{общ}}.3.V = 3,75$ kg. [0,5 т] Масата на първото и второто кубче е $m_1 + m_2 = M - m_3 = 2,75$ kg. [0.5 т] Замествайки, определяме $4m_1 + m_1 = 5m_1 = 2,75$ kg, откъдето $m_1 = 0,55$ kg [1 т] и $m_2 = 4m_1 = 2,2$ kg. [1 т].

Плътностите са $\rho_2 = \frac{m_2}{V} = 2200\ \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m^3}}$ [0,5 т] и $\rho_1 = \frac{m_1}{V} = 550\ \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m^3}}$. [0,5 т] Когато заеме окончателното си равновесно положение съдът ще бъде вертикален спрямо повърхността (трите кубчета ще са едно над друго), [0,5 т] като кубчето с плътност и $\rho_1 = 550\ \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m^3}}$ (първото) ще е най-отгоре. [0,5 т]