Съдържание

НЕСФ 2023, 9. клас — Задача 2. Локомотив + вагони = влакова композиция

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2023

Есенно национално състезание по физика 2023, тема за IX клас (Трета възрастова група) · 17 ноември 2023 г. · 10 т.

Условие

Влакова композиция се състои от локомотив и $n = 10$ вагона. Масата на един вагон и на локомотива са равни.

При внезапно спиране на влака, движещ се със скорост $v = 20$ m/s, спирачния път е $S = 100$ m. Коефициентът на триене между колелата и релсите е един и същ за всеки вагон и за локомотива.

А) Намерете коефициента на триене $k$ между колелата на влака и релсите. [3 т.]

Б) Какъв ще бъде спирачния път $S_1$ , ако само на един от вагоните спирачките не сработят. [3,5 т.]

Влакът се намира в покой. Включва се двигателя, колелата му се завъртат и цялата влакова композиция започва да се движи с ускорение. Коефициентът на триене само между колелата на локомотива и релсите сега предполагаме, че е друг - $k_2$ . Законът, изразяващ зависимостта на изминатия път от времето е:

S = 0{,}5 . t^2

В) Намерете ускорението $a$ , с което се движи влаковата композиция. [1,5 т.]

Г) Намерете коефициентът на триене $k_2$ , при условие, че коефициентът на триене между колелата на вагоните и релсите, без да са задействани спирачките, е $k_1 = k/4$ . [2 т.]

Решение

Част 1.

А) При спиране действа сила на триене $f$ :

(1)\qquad f = M . a \qquad (0{,}5\ \text{т})

където $M$ е масата на цялата композиция ( $M = (n + 1) . m$ )

от друга страна:

(2)\ f = kMg, \qquad (0{,}5\ \text{т})

След приравняване на уравнения (1) и (2) намираме търсеният коефициент $k$ :

k = \frac{a}{g} \qquad (1\ \text{т})

От друга страна: $S = \dfrac{v^2}{2a}$ следва, че $a = \dfrac{v^2}{2S}$ и окончателно:

k = \frac{v^2}{2gS} = 0{,}2 \qquad (1\ \text{т})

Б) Когато на един от вагоните не сработи спирачката, силата на триене е $f_1$ . Силата на триене, действаща върху локомотива и влаковата композиция без един вагон е равна на:

f_1 = knmg \qquad (1\ \text{т})

Ускорението ще бъде $a_1$ :

a_1 = \frac{f_1}{M} = \frac{n}{n+1} kg \qquad (1\ \text{т})

Спирачния път $S_1$ тогава ще бъде:

S_1 = \frac{v^2}{2a_1} = \frac{n+1}{n}\frac{v^2}{2kg}\ \text{или}\ S_1 = \left(1 + \frac{1}{n}\right) S \qquad (1\ \text{т})

S_1 = 110\ \mathrm{m} \qquad (0{,}5\ \text{т})

В) Ускорението на влака лесно се съобразява от закона $S = \dfrac{at^2}{2}$ . (0,5 т) След сравняване на закона с дадения израз в условието, следва че:

\frac{a}{2} = 0{,}5 \qquad (0{,}5\ \text{т})

a = 1\ \mathrm{m/s^2} \qquad (0{,}5\ \text{т})

Г) Теглителната сила е само от страна на локомотива и тя е равна на силата на триене между колелата и релсите. В този случай силата на триене се явява дърпаща и е по посока на движението. Теглителната сила е равна на $k_2mg$ . (0,5 т)

От друга страна силата на триене на вагоните е насочена в посока обратна на движението и е равна на $k_1nmg$ . (0,5 т) Прилагаме втори закон на Нютон:

k_2mg - k_1nmg = (n + 1) . ma \qquad (0{,}5\ \text{т})

k_2 = k_1 n + (n + 1)\frac{a}{g}

k_2 = 1{,}6 \qquad (0{,}5\ \text{т})

9. клас

Зад. 2, в) -- Няма дадени размерности в условието, в дадената зависимост пътят е в метри, а времето е в секунди.

Зад. 2, г) -- Намереното $k_2$ в оригиналното решение е минимална стойност за коефициента на триене, а не точната такава. Това е така, защото теглителната сила на локомотива не е
$k_2 \cdot mg$ , а си е нещо, което зависи от двигателя. Това е само максималната стойност на силата на триене.

Зад. 3, г) -- В даден момент във въздуха има точно 20 песъчинки, а не 19. Когато в момент $t$
падне песъчинката с номер 1, тъкмо се отделя тази с номер 21, и винаги във въздуха остават 20.

Оригинал в Архива: esenni_2024_9problems.pdf · официални решения: esenni_2024_9solutions.pdf · допълнителни данни: errata.txt