Съдържание

НЕСФ 2023, Специална тема — Задача 1. Последователни удари

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2023

Национално есенно състезание по физика 2023, Специална тема (Копривщица) · 17 ноември 2023 г. · 10 т.

Условие

Тънка еднородна пръчка с маса $m$ и дължина $2l$ се намира в покой върху гладка хоризонтална повърхност (фиг. 1). В пръчката, на разстояние $xl$ ( $0 \le x \le 1$ ) от центъра ѝ $C$ , се удря малко топче (материална точка) със същата маса $m$ и начална скорост $v_0$ , перпендикулярна спрямо пръчката. Ударът между топчето и пръчката е идеално еластичен. Силата на тежестта и силата на триене не се отчитат.

Топче с начална скорост v0 се движи към вертикална пръчка с център C; точката на удара е на разстояние xl над центъра, полудължината на пръчката е l. — Фиг. 1

Полезна формула. Инерчният момент на еднородна пръчка с маса M и дължина $L$ спрямо ос, минаваща през центъра ѝ, е $1/12\ ML^2$ .

а) Получете изрази за скоростта $v_1$ на топчето, скоростта $v_C$ на центъра на пръчката и ъгловата ѝ скорост $\omega$ в момента непосредствено след удара. [7 т.]

б) При определена стойност $x_0$ на параметъра $x$ пръчката и топчето се удрят втори път, след което пръчката остава в покой. Намерете $x_0$ и преместването $d$ на центъра на пръчката между двата удара. [3 т.]

Отговори

Решение

а) Силите, действащи на пръчката и топчето по време на удара, са перпендикулярни на пръчката. Следователно скоростите $\vec v_1$ и $\vec v_C$ също са перпендикулярни на пръчката. От закона за запазване на импулса имаме:

(1)

m v_0 = m v_1 + m v_C.

[1 т]

Като вземем предвид, че инерчният момент на пръчката спрямо нейния център е:

(2)

I_C = \frac{1}{12}m(2l)^2 = \frac{1}{3}ml^2,

[1 т]

записваме закона за запазване на момента на импулса спрямо точка $C$ :

(3)

m v_0 x l = m v_1 x l + \frac{1}{3}ml^2\omega.

[1 т]

За еластичен удар е в сила и законът за запазване на механичната енергия:

(4)

\frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2}mv_1^2 + \frac{1}{2}mv_C^2 + \frac{1}{6}ml^2\omega^2.

[1 т]

Преписваме трите закона за запазване, като съкратим общите множители и групираме в лявата страна само събираеми, отнасящи се за топчето, а в дясната – само за пръчката:

(5)

v_0 - v_1 = v_C,

(6)

(v_0 - v_1)x = \frac{1}{3}l\omega

(7)

v_0^2 - v_1^2 = v_C^2 + \frac{1}{3}(l\omega)^2

От уравнения (5) и (6) намираме връзката $l\omega = 3xv_C$ , след което преобразуваме уравнение (7) във вида:

(8)

v_0^2 - v_1^2 = (1 + 3x^2)v_C^2.

След като разделим почленно уравнение (8) на уравнение (5), получаваме:

(9)

v_0 + v_1 = (1 + 3x^2)v_C.

Уравненията (5), (6) и (9) образуват линейна система, от която определяме еднозначно търсените величини:

(10)

v_C = \frac{2v_0}{2 + 3x^2},

[1 т]

(11)

v_1 = \frac{3x^2 v_0}{2 + 3x^2},

[1 т]

(12)

\omega = \frac{6xv_0}{(2 + 3x^2)l}.

[1 т]

б) За да спре след втория удар, пръчката трябва да получи импулс в посока, противоположна на посоката на $\vec v_C$ . Следователно в момента на втория удар пръчката се е завъртяла на ъгъл $\varphi = 180^\circ = \pi$ rad спрямо началното си положение и заставайки вертикално е ударила топчето отзад спрямо посоката му на движение, както е показано на фигурата. Ясно е, че центърът на пръчката и топчето ще лежат на една вертикална линия, ако се движат с еднаква скорост след първия удар:

(13)

v_C = v_1.

[1 т]

Три положения: пръчка AB с топче със скорост v0; завъртяна пръчка със скорост vC на центъра и топче със скорост v1; пръчка BA в момента на втория удар. — Положение на пръчката и топчето при първия и при втория удар

От уравнения (10) и (11) следва, че:

(14)

x_0 = \sqrt{\frac{2}{3}} \approx 0.816.

[0.5 т]

Времето между двата удара е равно на времето, за което пръчката се завърта на ъгъл $\varphi$ :

(15)

t = \frac{\varphi}{\omega} = \frac{\pi l(2 + 3x_0^2)}{6x_0 v_0} = \frac{\sqrt{6}\pi l}{3v_0}.

[0.5 т]

При $x = x_0$ скоростта на центъра е $v_C = v_0/2$ и следователно преместването на пръчката е:

(16)

d = \frac{v_0 t}{2} = \frac{\sqrt{6}\pi}{6}l \approx 1.283\, l.

[1 т]

Оригинал в Архива: esenni_2024_STproblems.pdf · официални решения: esenni_2024_STsolutions.pdf