Съдържание

НЕСФ 2024, 10. клас — Задача 2

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2024

Есенно национално състезание по физика, гр. Бургас — тема за X клас (четвърта състезателна група) · 8 ноември 2024 г. · 10 т.

Условие

Силата на взаимодействие между два точкови заряда се описва от закона на Кулон, а всяко заредено тяло може да представи като съвкупност от достатъчно голям брой точкови заряда. Това ни позволява да изследваме взаимодействията между заредени тела с различни форми, не само между точкови заряди. Нека разгледаме тънък пръстен с радиус $R$ , които е равномерно зареден с общ заряд $Q$ . Пръстенът е разположен така, че оста му е хоризонтална.

2.1. Намерете силата, която действа на точков заряд $q_0$ намиращ се на разстояние $x$ по оста на пръстена, спрямо центъра му. Изразете $F$ като функция на $x$ . (5 т.)

2.2. Пресметнете интензитета на електричното поле $E(x)$ , създавано от пръстена, в точката където се намира $q_0$ . (1 т.) Получете израз за $E$ при $x \gg R$ . (1 т.) [2 т.]

2.3. Към най-високата част на пръстена връзваме непроводяща нишка с пренебрежимо малка маса. На другия край на нишката закрепяме заряда $q_0$ , който има маса $m$ . Намерете дължината на нишката $L_0$ , при която $q_0$ ще остане на оста на пръстена и ще бъде в равновесие. (3 т.) Земното ускорение е $g$ . [3 т.]

Отговори

Решение

Решение 2.1. По условие знаем, че всяко заредено тяло може да се разгледа като съвкупност от достатъчно голям брой точкови заряди или може да запишем, че общият заряд на пръстена е $Q = \sum_i q_i$ , където $q_i$ е големината на всеки от тези заряди. (1 т.) Силата на взаимодействие между точковите заряди $q_0$ и $q_i$ се пресмята от закона на Кулон:

\vec{F}_i = \frac{q_0 q_i}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\,\frac{\vec{r}}{r}. \qquad \textbf{(1 т.)}

В случая това е сила на отблъскване и е насочена по линията свързваща двата заряда. Разстоянието $r$ , може да се пресметне като използваме, че $q_0$ се намира на разстояние $x$ по оста на пръстена, който има радиус $R$ . От Питагоровата теорема следва, че: $r^2 = R^2 + x^2$ . Като използваме симетрията на пръстена и това, че може да го разделим на голям брой точкови заряди, за всеки заряд $q_i$ може да намерим диаметрално противоположен, който ще действа на $q_0$ със същата по големина сила. $x$ -компонентите на тези две сили са равни по големина и еднопосочни, докато $y$ -компонентите са в противоположна посока и сумата им е нула. (1 т.) Така получаваме, че принос към общата сила ще имат само $x$ -компонентите на $F_i$ :

F_{i,x} = \frac{q_0 q_i}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{x}{r^3} = \frac{q_0 q_i}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{x}{(R^2 + x^2)^{3/2}}. \qquad \textbf{(1 т.)}

Сумираме по всички заряди от пръстена и получаваме резултантната сила, действаща на точковия заряд $q_0$ :

F(x) = \sum_i \frac{q_0 q_i}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{x}{(R^2 + x^2)^{3/2}} = \frac{q_0 \sum q_i}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{x}{(R^2 + x^2)^{3/2}} = \frac{q_0 Q}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{x}{(R^2 + x^2)^{3/2}}. \qquad \textbf{(1 т.)}

Решение 2.2. Интензитета на електричното поле може да се получи от силата действаща на точковия заряд $q_0$ . Като използваме определението за интензитет $E = F/q_0$ , получаваме:

E(x) = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{x}{(R^2 + x^2)^{3/2}}, \qquad \textbf{(1 т.)}

за $x \gg R$ получаваме $E(x) = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 x^2}$ . (1 т.)

Пръстенът, видян отстрани като елипса, с нишка от горния му край до заряд на оста и трите сили върху него. — Силите върху заряда $q_0$ , окачен на нишка с дължина $L_0$ от горната точка $q_i$ на пръстена: опън $\vec{T}$ , тежест $m\vec{g}$ и електростатична сила $\vec{F}(x_0)$ по оста $x$ .

Решение 2.3. Когато зарядът $q_0$ е закрепен за непроводяща нишка хваната към горния край на пръстена, ще му действат три сили: сила на тежестта $mg$ , сила на опън на нишката $T$ и електростатичната сила $F(x)$ . Нека при $x = x_0$ тези три сили се уравновесяват, т.е. $\vec{T} + m\vec{g} + \vec{F}(x_0) = \vec{0}$ , което е еквивалентно на $\dfrac{F(x_0)}{mg} = \dfrac{x_0}{R}$ , (1.5 т.) заместваме $F(x_0)$ и получаваме:

\frac{q_0 Q}{4\pi\varepsilon_0 mg}\,\frac{x_0}{(R^2 + x_0^2)^{3/2}} = \frac{x_0}{R},

където $R^2 + x_0^2 = L_0^2$ или така дължината на нишката при която зарядът ще е в равновесие на оста на пръстена е:

L_0 = \left(\frac{q_0 Q R}{4\pi\varepsilon_0 mg}\right)^{1/3}. \qquad \textbf{(1 т.)}

Друго възможно решение е при $x = 0$ , тогава силата на опън на нишката се уравновесява от силата на тежестта, а $L_0 = R$ . (0.5 т.)

Оригинал в Архива: 10_202411_burhas_10_todorov_zad.pdf · официални решения: 10_202411_burhas_10_todorov_resh.pdf