Съдържание

НЕСФ 2024, 10. клас — Задача 1

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2024

Есенно национално състезание по физика, гр. Бургас — тема за X клас (четвърта състезателна група) · 8 ноември 2024 г. · 10 т.

Условие

Цилиндър с радиус $R$ е закрепен така, че оста му е хоризонтална. Около цилиндъра е навита тънка неразтеглива нишка с пренебрежимо малка маса. За свободния край на нишката е вързано топче с маса $m$ (виж фигурата), което може да се люлее като математично махало. Първоначалната дължина на нишката, измервана от цилиндъра до топчето е $L_0$ ( $L_0 \gg R$ ). Започваме да развиваме нишката с по една навивка, като след всяко развиване измерваме периода на махалото. Първото измерване на периода е при дължина на нишката $L_0$ . В таблицата под фигурата са записани някои от измерените стойности за периода $T$ , съответстващ на броя развити навивки $n$ . Приемете, че земното ускорение е $g = 9.8\ \mathrm{m/s^2}$ .

$n$	$T$ , s
5	2.52
6	2.65
7	2.77
8	2.83
9	2.95
10	3.00
11	3.07
12	3.19
13	3.26
14	3.33

Хоризонтален цилиндър с намотана нишка, на чийто свободен край виси топче като махало. — Цилиндърът с навитата върху него нишка и вързаното на свободния ѝ край топче.

Празна милиметрова хартия на цяла страница с деления по двете оси. — Милиметровата хартия от стр. 2 на условието, предвидена за графиката по подусловие 1.2. Надписите по осите в оригинала са набрани с 1 pt и практически не се виждат (по хоризонталната ос: 5–14; по вертикалната: 1.6–2.8).

1.1. Изразете периода на махалото $T$ като функция на $n$ . (1 т.) Използвайте получената функция, за да намерите линейна зависимост, от която могат да се определят стойностите на $L_0$ и $R$ . (1 т.) [2 т.]

1.2. Пресметнете стойностите на новите променливи, получени от линейната зависимост, запишете ги в таблица (2 т.) и начертайте графика на функцията (4 т.). Определете $L_0$ и $R$ от графиката. (2 т.)

Забележка: фигурата е ориентировъчна, размерите на изобразените предмети не са в мащаб, а върху цилиндъра има достатъчно нишка за развиване. Трептенията са хармонични при всяка дължина на нишката. [8 т.]

Отговори

Решение

Решение 1.1. Периодът на математичното махало зависи от дължината му $L$ като $T = 2\pi\sqrt{L/g}$ , където $g = 9.8\ \mathrm{m/s^2}$ е земното ускорение. В случая при развиване на една навивка дължината на нишката нараства с обиколката на цилиндъра $2\pi R$ , така след развиване на $n$ -та навивка периодът е:

T(n) = 2\pi\sqrt{\frac{L_0 + 2\pi Rn}{g}}. \qquad \textbf{(1 т.)}

От последното равенство се вижда, че може да направим следната линейна функция:

\frac{gT^2}{4\pi^2} = L_0 + 2\pi Rn, \qquad \textbf{(1 т.)}

където $n$ е независимата променлива, а $y = gT^2/(4\pi^2)$ зависимата.

$n$	$T$ , s	$y$ , m
5	2.52	1.58
6	2.65	1.74
7	2.77	1.90
8	2.83	1.99
9	2.95	2.16
10	3.00	2.23
11	3.07	2.34
12	3.19	2.53
13	3.26	2.64
14	3.33	2.75

Решение 1.2. Пресмятаме стойностите за новата променлива $y$ и ги записваме в таблицата. (2 т.) Чертаем зависимостта $y(n)$ , след което прекарваме права през точките от графиката. (4 т.) Избираме две максимално отдалечени точки (т. $A$ и т. $B$ ) от правата линия, чиито координати могат да се определят лесно, например за $n = 5$ и 14. От графиката се вижда, че $y$ -координатите на т. $A$ и т. $B$ са съответно 1.61 и 2.76. Наклонът на правата може да се определи от:

2\pi R = \frac{B_y - A_y}{B_x - A_x},\ \text{така получаваме } R = \frac{B_y - A_y}{2\pi(B_x - A_x)} = \frac{2.76 - 1.61}{2\pi(14 - 5)}\,\mathrm{m} = 0.02\,\mathrm{m}. \qquad \textbf{(1 т.)}

Свободният член се определя от:

L_0 = \frac{B_x A_y - A_x B_y}{B_x - A_x} = \frac{14 \times 1.61 - 5 \times 2.76}{14 - 5}\,\mathrm{m} = 0.97\,\mathrm{m}. \qquad \textbf{(1 т.)}

Забележка: Ако стойностите за $L_0$ и $R$ са верни ( $L_0 \in [0.94, 1.00]\,\mathrm{m}$ и $R = 0.02\,\mathrm{m}$ ), но не са определени от графиката се дават половината точки, но само ако е описано как са получени (например с функцията на калкулатора за пресмятане на линейна регресия). Ако не е описано как са получени, не се дават точки.

Милиметрова хартия с десет кръстчета по почти права линия и начертана права през тях. — Авторската графика $gT^2/(4\pi^2) = L_0 + 2\pi Rn$ с експерименталните точки и точките $A = (5;\ 1.61)$ и $B = (14;\ 2.76)$ , от които се получават $R = 0.02$ m и $L_0 = 0.97$ m.

Оригинал в Архива: 10_202411_burhas_10_todorov_zad.pdf · официални решения: 10_202411_burhas_10_todorov_resh.pdf