Съдържание

НЕСФ 2024, 11. клас — Задача 2. Трептене

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2024

Национално есенно състезание по физика 2024, тема за 11. клас (V състезателна група) · 8 ноември 2024 г. · 10 т.

Условие

Част А. Между две разноименно заредени метални пластини с равни по големина заряди се намира метално незаредено топче, окачено на изолираща нишка (фиг. 1).

Две вертикални пластини, лявата със знаци +, дясната със знаци −; между тях виси топче на нишка, отклонено наляво. — Фиг. 1 — незаредено метално топче на изолираща нишка между две разноименно заредени пластини; стрелката показва посоката на началното отклонение.

Указание. Електричното поле между пластините е еднородно около средата им, докато около краищата им е силно нееднородно.

Част Б. На фиг. 2 е показано малко метално топче с положителен електричен заряд $\mathrm{q} = 10\ \mu\mathrm{C}$ , нанизано на гладка изолирана хоризонтална спица и свързано с изолирана вертикална неразтегната пружина с дължина $l = 5\ \mathrm{cm}$ и коефициент на еластичност $\mathrm{k} = 50\ \mathrm{N/m}$ . Включва се еднородно електрично поле с хоризонтално насочен интензитет, който бавно достига стойност $E = 50\ \mathrm{N/C} = 50\ \mathrm{V/m}$ , като топчето се отмества на разстояние $x_0$ .

Пружина, окачена на таван, свързана с топче със заряд q върху хоризонтална спица; хоризонтална стрелка E. — Фиг. 2 — заредено топче на хоризонтална спица, закачено за вертикална пружина с коефициент $k$ и дължина $l$ ; полето $E$ е хоризонтално.

Полезна формула: $(1+x)^{\alpha} \approx 1 + \alpha x$ при $|x| \ll 1$

А. Опишете и обяснете какво ще се наблюдава, ако топчето бъде отклонено от равновесното положение в посоката, указана на фиг. 1. [5 т.]

Б. а) В какви граници трябва да бъде разстоянието $x_0$ , ако $\mathrm{x}_0/l \ll 1$ ? [1 т.]

Б. б) Намерете $x_0$ . [4 т.]

Отговори

Решение

Част А. В началното си положение металното топче няма индуциран заряд. [0,5 т.] При отклонение наляво върху лявата му половина се индуцира отрицателен заряд, а върху дясната – положителен. [0,5 т.] Привлича се от пластината с положителен заряд, [0,5 т.] прилепва към нея, като придобива положителен заряд [0,5 т.] и се отблъсква. [0,5 т.] Като достигне отрицателно заредената пластина, зарядът на топчето се неутрализира, [0,5 т.] то придобива отрицателен заряд и се отблъсква от нея. [0,5 т.] Така махалото ще трепти между пластините, като ще пренася заряд. [0,5 т.] Пластините постепеннно ще се разреждат [0,5 т.], а трептенията на махалото ще продължат до пълното им разреждане. [0,5 т.]

Част Б. а) Казваме, че една величина е много по-малка от друга, ако тя е поне десет пъти по-малка. Така $\mathrm{x}_0/l \ll 1$ , ако $\mathrm{x}_0 \le 0{,}1\,l$ . [0,5 т.] Това означава, че търсеното разстояние трябва да е в интервала

0 < x_0 \le 5\ \mathrm{mm}.

[0,5 т.]

б) При достигнато разстояние $x_0$ (фиг. 3) се уравновесяват електричната сила

\mathrm{F_e} = \mathrm{qE}

[0,5 т.]

и еластичната сила

\mathrm{F} = \mathrm{k}(\mathrm{L} - l),

[0,5 т.]

където $\mathrm{L} = \sqrt{l^2 + \mathrm{x}_0^2}$ [0,25 т.] е дължината на разтегнатата пружина. Компонентата на еластичната сила по спицата е

\mathrm{F_x} = \mathrm{k}(\mathrm{L} - l)\sin\alpha = \mathrm{k}(\mathrm{L} - l)\frac{\mathrm{x}_0}{\mathrm{L}} = \mathrm{k}\left(1 - \frac{l}{\mathrm{L}}\right)\mathrm{x}_0.

[1 т.]

Наклонена пружина с дължина L от тавана до топчето, отместено на x0 по хоризонталната спица; стрелка E. — Фиг. 3 (решение) — топчето, отместено на разстояние $x_0$ ; пружината е разтегната до дължина $L$ .

От условието на равновесие $\mathrm{F_x} = \mathrm{F_e}$ , [0,25 т.] след като използваме приближението за „малки“ $x_0$ , имаме

\frac{l}{\mathrm{L}} = \frac{1}{\sqrt{1 + (\mathrm{x}_0/l)^2}} \approx 1 - \frac{\mathrm{x}_0^2}{2l^2},

[0,5 т.]

\mathrm{x}_0 = \left(\frac{2\mathrm{q}l^2\mathrm{E}}{\mathrm{k}}\right)^{1/3} \approx 3{,}7\ \mathrm{mm}.

[1 т.]

Полученият резултат е в съответствие с направеното приближение.

Оригинал в Архива: 11_202411_burhas_11_mrvakov_zad.pdf · официални решения: 11_202411_burhas_11_mrvakov_resh.pdf