Съдържание

НЕСФ 2024, 11. клас — Задача 1. Вълни на Дьо Бройл

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2024

Национално есенно състезание по физика 2024, тема за 11. клас (V състезателна група) · 8 ноември 2024 г. · 10 т.

Условие

Част А. Електрон се ускорява от състояние на покой в еднородно електрично поле под действие на напрежение $\mathrm{U}$ .

Част Б. Електрон с енергия $E = 5{,}0\ \mathrm{eV}$ се движи праволинейно, като електрическата му потенциална енергия първоначално е $\mathrm{W}_1 = 0\ \mathrm{eV}$ при $x < 0$ , а при $x > 0$ със скок тя става $\mathrm{W}_2 = 3{,}0\ \mathrm{eV}$ .

Полезни константи: константа на Планк $\mathrm{h} = 6{,}626.10^{-34}\ \mathrm{J.s}$ , маса на електрона $\mathrm{m} = 9{,}11.10^{-31}\ \mathrm{kg}$ , елементарен заряд $\mathrm{q}_0 = 1{,}602.10^{-19}\ \mathrm{C}$ .

А. а) Намерете зависимостта на дължината на вълната на Дьо Бройл $\lambda$ на електрона от напрежението $\mathrm{U}$ . [3 т.]

А. б) Начертайте графиката на зависимостта $\lambda(\mathrm{U})$ при $25\ \mathrm{V} < \mathrm{U} < 250\ \mathrm{V}$ . [1 т.]

Б. а) Начертайте графиката на потенциалната енергия $\mathrm{W(x)}$ на електрона. [1 т.]

Б. б) Областта 1 при $x < 0$ и областта 2 при $x > 0$ по аналогия с оптиката могат да се разглеждат като еднородни среди, на границата $x = 0$ между които може да се наблюдава отражение и преминаване от 1 в 2 на вълната на Дьо Бройл. Определете относителния показател на пречупване $\mathrm{n}$ . [5 т.]

Отговори

Решение

Част А. а) По определение дължината на вълната на Дьо Бройл е

\lambda = \frac{\mathrm{h}}{\mathrm{m}\upsilon},

[0,5 т.]

където $\upsilon$ е скоростта на частицата. При ускоряване от състояние на покой имаме

\frac{1}{2}\mathrm{m}\upsilon^2 = \mathrm{W}_1 - \mathrm{W}_2 = -\mathrm{q}_0(\varphi_1 - \varphi_2).

[0,5 т.]

Тъй като електронът се движи по посока, обратна на посоката на силовата линия, а потенциалът намалява по посока на силовата линия, имаме $\varphi_2 > \varphi_1$ , т.е. $\varphi_2 - \varphi_1 = \mathrm{U}$ . [0,5 т.] Ето защо

\mathrm{m}\upsilon = \sqrt{2\mathrm{m}\mathrm{q}_0\mathrm{U}},

[0,5 т.]

при което намираме

\lambda = \frac{\mathrm{h}}{\sqrt{2\mathrm{m}\mathrm{q}_0\mathrm{U}}} \approx \sqrt{\frac{150}{\mathrm{U}}}\times 10^{-9}\ \mathrm{m} = \sqrt{\frac{150}{\mathrm{U}}}\ \mathrm{nm}.

[1 т.]

б) На фиг. 1 е показана графиката на $\lambda(\mathrm{U})$ за указания интервал от стойности на напрежения. [1 т.]

Намаляваща крива: λ в nm от около 0,25 при 25 V до около 0,08 при 250 V. — Фиг. 1 (решение) — графика на $\lambda(U)$ за $25\ \mathrm{V} < U < 250\ \mathrm{V}$ .

Част Б. а) На фиг. 2 е показана графиката на потенциалната енергия и енергията на движение на електрона. [1 т.]

Стъпаловидна функция W(x): нула в област 1 при x<0 и W2 в област 2 при x>0; хоризонтален пунктир E над стъпалото. — Фиг. 2 (решение) — потенциалната енергия $W(x)$ на електрона и пълната енергия $E$ (пунктир).

б) В областта 1 енергията на частицата е само кинетична, т.е. имаме

E = \frac{1}{2}m\upsilon_1^2,

[0,5 т.]

откъдето намираме

\mathrm{m}\upsilon_1 = \sqrt{2\mathrm{m}E}.

[0,5 т.]

Следователно имаме

\lambda_1 = \frac{\mathrm{h}}{\sqrt{2\mathrm{m}E}}.

[0,5 т.]

В областта 2 е в сила равенството

E = \frac{1}{2}m\upsilon_2^2 + W_2.

[0,5 т.]

Тогава имаме

\mathrm{m}\upsilon_2 = \sqrt{2\mathrm{m}(\mathrm{E} - \mathrm{W}_2)},

[0,5 т.]

което задава

\lambda_2 = \frac{\mathrm{h}}{\sqrt{2\mathrm{m}(E - W_2)}}.

[0,5 т.]

Относителният показател на пречупване $\mathrm{n} = \mathrm{n}_2/\mathrm{n}_1$ се определя с формулата

\lambda_2 = \left\{\left[\frac{\mathrm{h}}{\sqrt{2\mathrm{m}(E - W_2)}}\right]\times\frac{\sqrt{2\mathrm{m}E}}{\mathrm{h}}\right\}\times\lambda_1 \;\rightarrow\; \lambda_2 = \frac{1}{\sqrt{1 - \mathrm{W}_2/E}}\,\lambda_1 = \frac{\lambda_1}{\mathrm{n}}.

[1 т.]

Така намираме

\mathrm{n} = \sqrt{1 - \mathrm{W}_2/\mathrm{E}} \approx 0{,}63.

[1 т.]

Оригинал в Архива: 11_202411_burhas_11_mrvakov_zad.pdf · официални решения: 11_202411_burhas_11_mrvakov_resh.pdf