НЕСФ 2024, 12. клас — Задача 1. Тяло и наклонена равнина

а) За да намерим ъгъла $\alpha$, е удобно да работим в декартова координатна система с ос $Ox$ надолу по посока на наклонената равнина и ос $Oy$ нагоре, перпендикулярно на равнината. Като разложим земното ускорение по протежение на осите, се вижда, че движението по $Ox$ е равноускорително с ускорение $a_x = g\sin\alpha$, а по $Oy$ имаме равнозакъснително (и след това равноускорително) движение с ускорение $a_y = g\cos\alpha$. [0,5 т.] Началната скорост е само по посока на $Oy$. Ако вземем началото на координатната система да е в първоначалното положение на тялото, законите за движение по $Ox$ и $Oy$ придобиват следния вид: $x(t) = \frac{a_x t^2}{2} = \frac{g\sin\alpha\, t^2}{2}$ и $y(t) = v_0 t - \frac{a_y t^2}{2} = v_0 t - \frac{g\cos\alpha\, t^2}{2}$. [1 т.] Максимално отдалечаване от равнината ще има в точката от траекторията с максимално $y$, т.е. когато скоростта $v_y$ по посока на оста $Oy$ стане нулева: $v_y = v_0 - a_y t = v_0 - g\cos\alpha\, t = 0$. [0,5 т.] Оттук следва, че изминалото време до това положение на тялото е $t_{y\max} = \frac{v_0}{g\cos\alpha}$. [0,5 т.] Тъй като тази точка е на същата височина като началното положение на тялото върху равнината, може да се съобрази, че $\tan\alpha = \frac{y(t_{y\max})}{x(t_{y\max})} = \cot\alpha$. [1 т.] Така получаваме, че $\alpha = 45^\circ$. [0,5 т.]

б) В момента на падане изминалото време от началото на движението ще означим с $t_{\mathrm{пад}}$ и съответно $y(t_{\mathrm{пад}}) = 0$, т.е. $t_{\mathrm{пад}} = \frac{2v_0}{g\cos\alpha}$. [0,5 т.] Изпълнено е, че $x(t_{\mathrm{пад}}) = \frac{2v_0^2\sin\alpha}{g\cos^2\alpha} = d$. [0,5 т.] Следователно $v_0 = \sqrt{\frac{gd}{2\sin\alpha}}\cos\alpha = \sqrt{\frac{gd}{2\sqrt{2}}} \approx 4{,}2\ \mathrm{m/s}$. [1 т.]

в) Изминалото време до удара е $t_{\mathrm{пад}} = \sqrt{\frac{2d}{g\sin\alpha}} = \sqrt{\frac{2\sqrt{2}d}{g}} \approx 1{,}2\ \mathrm{s}$. [1 т.]

г) За да намерим най-високата точка от траекторията, ще използваме стандартната декартова координатна система ($Ox$ е насочена хоризонтално надясно, а $Oy$ е вертикално нагоре), центрирана в началното положение на тялото. Като отчетем, че ъгълът на хвърляне спрямо хоризонта е $\alpha = 45^\circ$, законите за движение по осите са: $x(t) = v_0\sin\alpha\, t$ и $y(t) = v_0\cos\alpha\, t - \frac{gt^2}{2}$. [1 т.] В най-високата точка скоростта по $Oy$ е нулева, така че $v_0\cos\alpha - gt = 0$, т.е. изминалото време е $t_{h\max} = \frac{v_0\cos\alpha}{g}$ и височината на търсената точка спрямо началното положение ще бъде $h_{\max} = \frac{v_0^2\cos^2\alpha}{2g} = \frac{d\cos^4\alpha}{4\sin\alpha}$. [1 т.] В условието се търси височината спрямо точката на падане, която се намира на $d\sin\alpha$ под началното положение на тялото, т.е. $H_{\max} = h_{\max} + d\sin\alpha = \frac{9d}{8\sqrt{2}} \approx 4\ \mathrm{m}$. [1 т.]