НЕСФ 2024, 7. клас — Задача 1. Куб в Куб

• А) $b^2 = \frac{(\rho_{\mathrm{глицерин}} - \rho_{\mathrm{вода}})a^3}{\rho_{\mathrm{вода}}H_{\mathrm{слой\ вода}} - \rho_{\mathrm{глицерин}}H_{\mathrm{слой\ глицерин}}} = 5{,}21.10^{-4}\ \mathrm{m^2}\ \Rightarrow\ b \approx 2{,}28\ \mathrm{cm}$

• Б) $V_{al} = a^3 - b^3 = 3{,}77.10^{-6}\ \mathrm{m^3},\quad m_{Al} = \rho_{Al}.V_{Al} = 0{,}0102\ \mathrm{kg}$

  При заместване със закръглената стойност за $b$: $V_{al} = 3{,}74.10^{-6}\ \mathrm{m^3}$ и $m_{Al} = 0{,}0101$ kg.

А) За да плава тялото, общата му маса трябва да бъде равна на масата на течността, заемаща този обем $V = a^3 = 0{,}000015625\ m^3$ [1 т.]:

$m_{\mathrm{куб\ във\ вода}} = \rho_{\mathrm{вода}}.V = 0{,}015625\ kg$

$m_{\mathrm{куб\ във\ глицерин}} = \rho_{\mathrm{глицерин}}.V = 0{,}01953125\ \mathrm{kg}$ [1 т.]

От условието на задачата знаем, че $m_{\mathrm{куб\ във\ вода}} = m_{Al} + m_{\mathrm{слой\ глицерин}}$

От условието на задачата знаем, че $m_{\mathrm{куб\ във\ глицерин}} = m_{Al} + m_{\mathrm{слой\ вода}}$

Слоят глицерин има обем на паралелепипед с две страни $b$ и височина 1 cm:

$V_{\mathrm{слой\ глицерин}} = b^2.H_{\mathrm{слой\ глицерин}}$ , $m_{\mathrm{слой\ глицерин}} = \rho_{\mathrm{глицерин}}.V_{\mathrm{слой\ глицерин}}$

Слоят вода има обем на паралелепипед с две страни $b$ и височина 2 cm:

$V_{\mathrm{слой\ вода}} = b^2.H_{\mathrm{слой\ вода}}$ , $m_{\mathrm{слой\ вода}} = \rho_{\mathrm{вода}}.V_{\mathrm{слой\ вода}}$ [1 т.]

Ако изразим масата на алуминиевата част от тялото получаваме:

$m_{Al} = m_{\mathrm{куб\ във\ вода}} - m_{\mathrm{слой\ глицерин}} = m_{\mathrm{куб\ във\ глицерин}} - m_{\mathrm{слой\ вода}}$ или

$m_{\mathrm{слой\ вода}} - m_{\mathrm{слой\ глицерин}} = m_{\mathrm{куб\ във\ глицерин}} - m_{\mathrm{куб\ във\ вода}}$

$\rho_{\mathrm{вода}}.V_{\mathrm{слой\ вода}} - \rho_{\mathrm{глицерин}}.V_{\mathrm{слой\ глицерин}} = \rho_{\mathrm{вода}}.b^2.H_{\mathrm{слой\ вода}} - \rho_{\mathrm{глицерин}}.b^2.H_{\mathrm{слой\ глицерин}} = m_{\mathrm{куб\ във\ глицерин}} - m_{\mathrm{куб\ във\ вода}}$ [1 т.]

Тогава получаваме краен резултат за $b^2 = \dfrac{m_{\mathrm{куб\ във\ глицерин}} - m_{\mathrm{куб\ във\ вода}}}{\rho_{\mathrm{вода}}H_{\mathrm{слой\ вода}} - \rho_{\mathrm{глицерин}}H_{\mathrm{слой\ глицерин}}} = \dfrac{(\rho_{\mathrm{глицерин}} - \rho_{\mathrm{вода}})a^3}{\rho_{\mathrm{вода}}H_{\mathrm{слой\ вода}} - \rho_{\mathrm{глицерин}}H_{\mathrm{слой\ глицерин}}} = 5{,}21.10^{-4}\ m^2$ [2 т.]. От таблицата намираме, че такава стойност на квадрата отговаря на страна $b \approx 2{,}28$ cm [1 т.].

Б) Обемът на тялото е разлика между обема на куб със страна $a$ и „кух“ куб със страна $b$.

$V_{al} = a^3 - b^3 = 3{,}77.10^{-6} m^3$ ($V_{al} = 3{,}74.10^{-6} m^3$ при заместване със закръглената стойност). [2 т.]

$m_{Al} = \rho_{Al}.V_{Al} = 0{,}0102\ kg$ ($m_{Al} = 0{,}0101$ kg при заместване със закръглената стойност) [1 т.]