НЕСФ 2024, 8. клас — Задача 3. Претегляне на кубчета

• а) $m_\mathrm{Cu} = \rho_\mathrm{Cu}a^3 = 8{,}960\ \mathrm{g},\qquad m_\mathrm{Al} = \rho_\mathrm{Al}a^3 = 2{,}712\ \mathrm{g}$

• б) $N_\mathrm{Cu} = 5,\qquad N_\mathrm{Al} = 4$

  Единственото решение в цели числа на $M = N_\mathrm{Cu}m_\mathrm{Cu} + N_\mathrm{Al}m_\mathrm{Al}$.

а) Масата на едно медно кубче е $m_\mathrm{Cu} = \rho_\mathrm{Cu}.V = \rho_\mathrm{Cu}.a^3$ [0,5 т.] $= 8960\ \dfrac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m^3}}.(1{,}000.10^{-2}\ \mathrm{m})^3 = 0{,}00896$ kg $= 8{,}960$ g. [0,5 т.] Масата на едно алуминиево кубче е $m_\mathrm{Al} = \rho_\mathrm{Al}.V = \rho_\mathrm{Al}.a^3$ [0,5 т.] $= 2712\ \dfrac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m^3}}.(1{,}000.10^{-2}\ \mathrm{m})^3 = 0{,}002712$ kg $= 2{,}712$ g. [0,5 т.]

б) Общата претеглена маса на кубчетата е $M = N_\mathrm{Cu}m_\mathrm{Cu} + N_\mathrm{Al}m_\mathrm{Al}$. [0.5 т.] Максималният възможен брой на медните кубчета $N_{\mathrm{Cu},max}$ е $N_{\mathrm{Cu},max} = \left[\dfrac{M}{m_\mathrm{Cu}}\right] = [6{,}2] = 6$. [0,5 т.] Следователно трябва да проверим за какво цяло число $N_\mathrm{Cu} \le 6$ ще получим цяло число $N_\mathrm{Al}$. В таблицата са дадени всички възможности (изчисляваме $N_\mathrm{Al}$ от формулата $N_\mathrm{Al} = \dfrac{M - N_\mathrm{Cu}m_\mathrm{Cu}}{m_\mathrm{Al}}$ ). От нея се вижда, че задачата има само едно решение, $N_\mathrm{Cu} = 5$, $N_\mathrm{Al} = 4$. [7,0 т.] (за всеки неизследван случай се отнема по [1,0 т.])