Съдържание

НЕСФ 2024, Специална тема — Задача 2. Електростатична призма

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2024

Национално есенно състезание по физика, Бургас, 08–10 ноември 2024 г. — Специална тема · 8 ноември 2024 г. · 10 т.

Условие

За получаване на образ на субмикронни обекти, в електронните микроскопи се изпозват снопове от ускорени електрони. Затова в електронните микроскопи има електрични и магнитни системи, например електростатични или магнитни лещи, които отклоняват електронния сноп, както съответните оптични системи в светлинен микроскоп отклоняват светлинните лъчи. В тази задача ще анализирате проста електростатична система, която отклонява електронен сноп, подобно на призма. При решението на задачата не е нужно да се отчитат релативистки ефекти.

а) Безкрайно дълга права нишка е заредена положително с постоянна линейна плътност $\gamma$ на заряда.¹ Колко е интензитетът $E(r)$ на електричното поле на разстояние r от нишката?

¹ Линейната плътност $\gamma$ се дефинира като заряд на единица дължина от нишката, т.е. $\mathrm{d}q/\mathrm{d}\ell$ , и се измерва с кулони върху метър (C/m). [1,5 т.]

б) На фиг. 2а е показано напречното сечение на две дълги успоредни праволинейни жички с радиус a всяка, и разстояние L между осите им ( $L \gg a$ ). Жичките са свързани към източник на напрежение $U$ , при което се зареждат с противоположен по знак заряд с линейна плътност $+\gamma$ и $-\gamma$ съответно. Изразете $\gamma$ като функция на дадените параметри. В крайния отговор можете да пренебрегнете a в сравнение с L, там където е възможно. [2 т.]

в) Сноп електрони, предварително ускорени от електрично напрежение $V$ , e насочен перпендикурярно на равнината, образувана от двете жички, към точка на разстояние b ( $a < b < L$ ) от оста на положително заредената жичка (вж. фиг. 2а). Източникът на електрони се намира от жичките на разстояние, много по-голямо от L. Може да приемете, че $V \gg U$ , така че електричното поле отклонява преминалите между жичките електрони на много малък ъгъл $\theta$ спрямо началната им посока на движениe, т.е. $\theta \ll 1\ \mathrm{rad}$ . Получете приблизителен израз за $\theta$ чрез дадените параметри.

Упътване. Задачата може да бъде решена по метода на последователните приближения, който се състои в следното. В най-грубо (т.нар. нулево) приближение напълно се пренебрегва електричната сила, действаща на електроните, и се приема, че те се движат практически равномерно по права линия, пресичаща равнината между двете жички на разстояние b от оста на положително заредената жичка. Електричната сила се отчита в следващото (т.нар. първо) приближение. За целта се разглежда равномерно и праволинейно движещ се електрон, за който се пресмята импулса на действащата му електросктатичната сила, а оттам и малката промяна на скоростта, дължаща се на тази сила. [3,5 т.]

г) Електричното поле на жичките отклонява електронния сноп така, както призма с малък ъгъл при върха отклонява лъч светлина. Колко дъгови минтути трябва да бъде ъгълът $\phi$ при върха на стъклена призма с показател на пречупване $n = 1.50$ , така че лъч светлина да се отклони на същия ъгъл $\theta$ , както електронният сноп, минал между жичките (фиг. 2б). Параметрите на електростатичната призма са $a = 0.100\ \mathrm{mm}; L = 1.00\ \mathrm{cm}; U = 100\ \mathrm{V}; V = 10.0\ \mathrm{kV}$ . Приемете, че светлинният лъч пада под малък ъгъл спрямо нормалата към страничната повърхност на призмата. [3 т.]

Напречно сечение на две успоредни жички със заряд −γ (горе) и +γ (долу) на разстояние L; електрон минава на разстояние b от долната жичка и се отклонява на ъгъл θ. — Фиг. 2а

Стъклена призма с малък ъгъл φ при върха, отклоняваща лъч светлина на ъгъл θ. — Фиг. 2б

Отговори

Решение

а) Разклеждаме мислена цилиндрична повърхност с радиус $r$ , обхващаща жичката. Количеството заряд, заградено от повърхността, е:

(1)\qquad q = \gamma\ell, \qquad [0.5\ \text{т}]

където $\ell$ е височината на цилиндъра. Тъй като електричното поле е перпендикулярно на околната повърхност на цилиндъра и има постоянен по големина интензитет $E(r)$ , потокът на полето през цилиндъра е:

(2)\qquad \Phi = E(r)\cdot 2\pi r\ell. \qquad [0.5\ \text{т}]

От теоремата на Гаус $\Phi = q/\varepsilon_0$ , намираме:

(3)\qquad E(r) = \frac{\gamma}{2\pi\varepsilon_0 r}. \qquad [0.5\ \text{т}]

б) Понеже радиусът на жичките, е много по-малък от разстоянието между тях, може да приемем, че разпределението на заряда върху тяхната повърхност е практически равномерно. Следователно всяка жичка, създава поле, еквивалентно на полето на равномерно заредена линия. На разстояние r от оста на положително заредената жичка интензитетът на полето на жичката е:

(4)\qquad E^+(r) = \frac{\gamma}{2\pi\varepsilon_0 r}.

В областта между двете жички, отрицателно заредената жичка създава поле в същата посока като $E^+(r)$ с интензитет:

(5)\qquad E^-(r) = \frac{\gamma}{2\pi\varepsilon_0(L - r)}

и резултатното поле е:

(6)\qquad E(r) = E^+(r) + E^-(r) = \frac{\gamma}{2\pi\varepsilon_0 r} + \frac{\gamma}{2\pi\varepsilon_0(L - r)} \qquad [0.5\ \text{т}]

Падът на потенциала, т.е. напрежението между две много близки точки е: $\mathrm{d}U \equiv -\mathrm{d}\varphi = \vec{E}(\vec{r})\cdot\mathrm{d}\vec{r}$ . Следователно, напрежението между двете жички се дава с интеграла:

(7)\qquad U = \int_a^{L-a}E(r)\mathrm{d}r = \frac{\gamma}{2\pi\varepsilon_0}\left(\int_a^{L-a}\frac{\mathrm{d}r}{r} + \int_a^{L-a}\frac{\mathrm{d}r}{L - r}\right) = 2\cdot\frac{\gamma}{2\pi\varepsilon_0}\ln\left(\frac{L-a}{a}\right). \qquad [1.0\ \text{т}]

Като пренебрегнем a спрямо L в числителя, намираме окончателно:

(8)\qquad \gamma = \frac{\pi\varepsilon_0 U}{\ln(L/a)}. \qquad [0.5\ \text{т}]

в) От закона за запазване на енергията: $mv^2/2 = eV$ , изразяваме скоростта на електрона на много голямо (безкрайно) разстояние от жичките:

(9)\qquad v = \sqrt{\frac{2eV}{m}}. \qquad [0.5\ \text{т}]

Електрон, движещ се по оста X на разстояние b от положително заредената жичка; означени са r, α, силата F⁺ и перпендикулярната ѝ компонента F⊥, както и скоростите v и v⊥.

Въвеждаме X в посоката на началната скорост на електроните и с начало в точката, където оста „пробожда” равнината между жичките, т.е. на разстояние b от положително заредената жичка. В нулево приближение електронът се движи с постоянна скорост $v$ по оста X. Да разгледаме преместването на електрона от точка с координата x до точка с координата x + dx. Времето за това преместване е:

(10)\qquad \mathrm{d}t = \frac{\mathrm{d}x}{v}. \qquad [0.5\ \text{т}]

В този интервал положително заредената жичка действа на електрона със сила:

(11)\qquad F^+ = eE^+(r) = \frac{e\gamma}{2\pi\varepsilon_0 r},

чиято проекция, перпендикулярно на траекторията, е:

(12)\qquad F^+_\perp = F^+\cos\alpha = \frac{F^+b}{r} = \frac{e\gamma b}{2\pi\varepsilon_0(b^2 + x^2)}. \qquad [0.5\ \text{т}]

За малкия интервал от време (10) тази сила има импулс в перпендикулярно направление:

(13)\qquad \mathrm{d}J^+_\perp = F^+_\perp\mathrm{d}t = \frac{e\gamma b\,\mathrm{d}x}{2\pi\varepsilon_0 v(b^2 + x^2)},

а за цялото време на движение:

(14)\qquad J^+_\perp = \int_{-\infty}^{\infty}\frac{e\gamma b\,\mathrm{d}x}{2\pi\varepsilon_0 v(b^2 + x^2)} = \frac{e\gamma}{2\varepsilon_0 v}. \qquad [0.5\ \text{т}]

Вижда се, че импулсът на силата не зависи от разстоянието b, на което електронът се доближава до жичката. Следователно отрицателно заредената жичка действа със сила, която има същия по големина и посока импулс по време на движението:

(15)\qquad J^-_\perp = \frac{e\gamma}{2\varepsilon_0 v}.

Тогава общият импулс на електростатичните сили е:

(16)\qquad J_\perp = J^+_\perp + J^-_\perp = \frac{e\gamma}{\varepsilon_0 v}. \qquad [0.5\ \text{т}]

Съответно електронът придобива допълнителна скорост, перпендикулярно спрямо началната му скорост:

(17)\qquad v_\perp = \frac{J_\perp}{m} = \frac{e\gamma}{\varepsilon_0 mv}. \qquad [0.5\ \text{т}]

Ход на лъч през призма с ъгъл φ при върха: ъгли α₁, β₁ при входната и β₂, α₂ при изходната повърхност.

Ъгълът, на който се отклонява електронният сноп, е:

(18)\qquad \theta \approx \tan\theta = \frac{v_\perp}{v} = \frac{e\gamma}{\varepsilon_0 mv^2} = \frac{\pi U}{2V\ln(L/a)}. \qquad [0.5\ \text{т}]

г) На фигурата са дадени ъглите, които лъчът светлина сключва с нормалата към входната и към изходната повърхност на призмата. От закона на Снелиус:

(19)\qquad \sin\alpha_1 = n\sin\beta_1;\ \sin\alpha_2 = n\sin\beta_2. \qquad [0.4\ \text{т}]

Общият ъгъл на отклонение лъча е:

(20)\qquad \theta = (\alpha_1 - \beta_1) + (\alpha_2 - \beta_2). \qquad [0.6\ \text{т}]

Като вземем предвид, че ъглите са малки, т.е. $\sin x \approx x/\mathrm{rad}$ , получаваме:

(21)\qquad \theta = (n - 1)(\beta_1 + \beta_2)

От геометрични съображения е ясно, че:

(22)\qquad \beta_1 + \beta_2 = \phi. \qquad [0.5\ \text{т}]

Следователно:

(21)\qquad \theta = (n - 1)\phi. \qquad [0.5\ \text{т}]

При дадените параметри за електростатичната призма намираме:

(22)\qquad \theta = \frac{3.14\cdot 100\ \mathrm{V}}{2\cdot 10\,000\ \mathrm{V}\cdot\ln(10\ \mathrm{mm}/0.1\ \mathrm{mm})} \approx 3.41\cdot 10^{-3}\ \mathrm{rad} = 0.195^\circ. \qquad [0.5\ \text{т}]

Тогава за ъгъла при върха на оптичната призма получаваме:

(23)\qquad \phi = \frac{\theta}{n - 1} = 0{,}390^\circ = 23.4'. \qquad [0.5\ \text{т}]

Оригинал в Архива: ST_202411_burhas_st_yvanov_zad.pdf · официални решения: ST_202411_burhas_st_yvanov_resh.pdf