Съдържание

НЕСФ 2024, Специална тема — Задача 3. Раждане на електрон-позитронна двойка

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2024

Национално есенно състезание по физика, Бургас, 08–10 ноември 2024 г. — Специална тема · 8 ноември 2024 г. · 10 т.

Условие

Позитронът е античастицата на електрона – има същата маса като електрона, но противоположен заряд. При взаимодействие на електрон и позитрон е възможна т.нар. анихилация, при която двете частици изчезват и се появяват два високоенергетични фонтона ( $\gamma$ -кванти). Обратният процес теоретично е възможен, но на практика е малковероятен. Затова при облъчване на вещество с $\gamma$ -кванти, електрон-позитронни двойки възникват при взаимодействие на фотоните със заредени частици – атомни ядра или електрони от електронната обвивка на атомите. Може да приемете, че преди взаимодействието с $\gamma$ -кванта заредената частица е неподвижна.

Физични константи, които можете да използвате във всички задачи:

Земно ускорение	$g = 9{,}81\ \mathrm{m.s^{-2}}$
Гравитационна константа	$\gamma = 6{,}67.10^{-11}\mathrm{m^3.kg^{-1}.s^{-2}}$
Маси на частиците – електрон	$m_\mathrm{e} = 9{,}109.10^{-31}\ \mathrm{kg}$
Маси на частиците – протон	$m_\mathrm{p} = 1{,}673.10^{-27}\ \mathrm{kg}$
Маси на частиците – неутрон	$m_\mathrm{n} = 1{,}675.10^{-27}\ \mathrm{kg}$
Елементарен електричен заряд	$e = 1{,}60.10^{-19}\ \mathrm{C}$
Константа на Кулон	$k_\mathrm{C} = 9{,}00.10^{9}\ \mathrm{N.m^2.C^{-2}}$
Електрична константа	$\varepsilon_0 = 1/4\pi k_\mathrm{C} \approx 8{,}85.10^{-12}\ \mathrm{F.m^{-1}}$
Магнитна константа	$\mu_0 = 4\pi.10^{-7}\ \mathrm{T.m.A^{-1}}$
Скорост на светлината	$c = 3{,}00.10^{8}\ \mathrm{m.s^{-1}}$
Константа на Планк	$h = 6{,}63.10^{-34}\ \mathrm{J.s}$
Редуцирана константа на Планк	$\hbar = h/(2\pi) = 1{,}05.10^{-34}\ \mathrm{J.s}$

Някои таблични интеграли:

\int x^n\mathrm{d}x = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\ (n \neq -1); \qquad \int \frac{\mathrm{d}x}{x} = \ln x + C;

\int \sin x\,\mathrm{d}x = -\cos x + C; \qquad \int \cos x\,\mathrm{d}x = \sin x + C;

\int \frac{\mathrm{d}x}{1+x^2} = \mathrm{arctg}\,x + C.

а) Получете израз за минималната енергия $E_\gamma$ на $\gamma$ -квант, взаимодействащ с частица с маса $M$ в покой, така че фотонът да изчезне и да се роди двойка електрон и позитрон. [7 т.]

б) Пресметнете $E_\gamma$ в мегаелектронволти при взаимодествие на фотона с: 1) тежко атомно ядро ( $M \gg m_\mathrm{e}$ ) и 2) с електрон ( $M = m_\mathrm{e}$ ), където $m_\mathrm{e}$ е масата на електрона в покой. [3 т.]

Отговори

Решение

а) От закона за запазване на енергията следва, че:

(1)\qquad E_\gamma + Mc^2 = E, \qquad [1.0\ \text{т}]

където $E$ е сумарната релативистична енергия на началната частица и възникналите след процеса електрон и позитрон. Сумарният импулс на трите частици след процеса е:

(2)\qquad P = P_\gamma, \qquad [1.0\ \text{т}]

където $P_\gamma$ е импулсът на фотона преди процеса. Минималната енергия на падащия фотон съответства на случая, когато след процеса електронът, позитронът и началната частица се движат с еднаква скорост, т.е. като едно цяло тяло с маса в покой:

(3)\qquad M' = M + 2m_\mathrm{e}. \qquad [1.0\ \text{т}]

Вземаме предвид, че за фотона:

(4)\qquad E_\gamma = P_\gamma c, \qquad [1.0\ \text{т}]

а за трите частици след процеса:

(5)\qquad E^2 = P^2 + (M'c^2)^2. \qquad [1.0\ \text{т}]

След като повдигнем на квадрат двете страни на уравнение 1 и на уравнение 2, умножени с $c^2$ , и ги съберем почленно, получаваме:

(6)\qquad E_\gamma^2 + M^2c^4 + 2E_\gamma Mc^2 + P^2c^2 = E^2 + P_\gamma^2c^2. \qquad [1.0\ \text{т}]

Вземаме предвид тъждествата (4) и (5) и намираме окончателно:

(7)\qquad E_\gamma = \frac{(M + 2m_\mathrm{e})^2c^2 - M^2c^2}{2M} = \frac{2(M + m_\mathrm{e})m_\mathrm{e}c^2}{M}. \qquad [1.0\ \text{т}]

б) В граничния случай на много тежко ядро, $M \gg m_\mathrm{e}$ , т.е. при $M \to \infty$ , намираме:

(8)\qquad E_\gamma = 2m_\mathrm{e}c^2 = 2\times 9{,}11\times 10^{-31}\mathrm{kg}\times(3{,}00\times 10^{8}\,\mathrm{m/s})^2 = 1.64\times 10^{-13}\mathrm{J}. \qquad [1.0\ \text{т}]

Като вземем предвид, че $1\ \mathrm{MeV} = 1{,}60\times 10^{-13}\mathrm{J}$ , намираме енергията на фотона в мегаелектронволти:

(9)\qquad E_\gamma \approx 1{,}02\ \mathrm{MeV}. \qquad [1.0\ \text{т}]

При взаимодействие с електрон, $M = m_\mathrm{e}$ :

(10)\qquad E_\gamma = 6m_\mathrm{e}c^2 \approx 3{,}06\ \mathrm{MeV}. \qquad [1.0\ \text{т}]

Оригинал в Архива: ST_202411_burhas_st_yvanov_zad.pdf · официални решения: ST_202411_burhas_st_yvanov_resh.pdf