Съдържание

НЕСФ 2025, 7. клас — Задача 1. Златното правило на механиката

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2025

Национално есенно състезание по физика 2025, тема за I състезателна група (7. клас) · 7 ноември 2025 г. · 10 т.

Условие

Преди повече от 2000 години Архимед формулирал идеята, която днес наричаме „златното правило на механиката“. Легендата казва, че той заявил: „Дайте ми опора и ще повдигна Земята.“ Зад тази смела фраза стои проста, но дълбока истина: печелим сила за сметка на пътя. Ако искаш да вдигнеш голям товар с малка сила, трябва да „платиш“ с по-дълго движение на точката, където прилагаш усилието. Това е валидно за лоста, за макарата, за наклонената равнина, за винта, за системата „колело и ос“ — за всички прости машини. Например формулата за равновесие на лост е:

F_1 . l_1 = F_2 . l_2

Две хоризонтални греди върху опори, свързани помежду си; вляво виси товар X, вдясно — товар 20 kg. — Съставен лост: отляво виси товар X, отдясно — товар 20 kg; разстоянията по гредите са 1,5 m, 3,5 m, 3 m, 2 m, 1 m и 4 m.

1.1. Колко трябва да бъде масата на товара X, за да имаме равновесие? [1 т.]

1.2. Еднородна дъска с дължина $L$ = 80 cm, широчина $w$ = 20 cm и дебелина $d$ = 30 mm се поддържа хоризонтално във въздуха от леки неразтегливи нишки, завързани за двата ѝ края. Всяка от тези нишки е прикрепена към малка лека макара, която е свързана с две големи макари посредством една-единствена нишка, както е показано на фигурата. Намерете масата на теглилката A в килограми, необходима, за да се запази системата в равновесие. Плътността на дървения материал е $\rho$ = 0,0005 g/mm³. [2 т.]

Система от две неподвижни и две подвижни макари, окачена на таван; отляво виси дъска с дължина L, отдясно — теглилка A. — Дъската с дължина $L$ и плътност $\rho$ , окачена на две подвижни макари, и теглилката A на свободния край на нишката.

Клин с ъгъл θ при върха, тласкан хоризонтално отляво надясно, повдига масивен блок. — Фигура на клин

1.3. На чертежа е показан клин, който се вкарва хоризонтално под масивен блок (товар). Горната му наклонена страна опира в долната повърхност на блока, а клинът се движи надясно с прилагане на хоризонтална сила $F$ . При вкарването на клина блокът се повдига вертикално. На фигурата ъгълът между горната наклонена страна на клина и хоризонталата е θ = 15°. Теглото на блока е $P$ = 1,2 kN. Клинът се вкарва хоризонтално с ход $s$ = 0,1 m. Намерете необходимата сила F, която трябва да се прилага върху клина. Използвайте фигурата, показваща ъгъл от 15 градуса. Триенето се пренебрегва. [2 т.]

Ъгъл от 15° върху милиметрова мрежа: наклонената права се издига с 4 клетки на всеки 15 клетки хоризонтално. — Фигура на ъгъл от 15 градуса.

1.4 Три зъбни колела са част от механизъм, както е показано на схемата. Зъбното колело A има 60 зъба. Зъбното колело B има две венчета: вътрешно с 15 зъба и външно с 45 зъба. Зъбното колело C има 15 зъба на своя вътрешен венец. Колелото A се върти по часовниковата стрелка и извършва пълно завъртане за 1 час. Да се определи за колко време зъбното колело C ще извърши едно пълно завъртане. [2,5 т.]

Снимка на три зацепени зъбни колела, означени с C (ляво), B (средно, с два венеца) и A (дясно). — Механизъм от три зъбни колела A, B и C.

1.5 Имам играчка, която се състои от цилиндър с радиус $R$ , около който е навита връв. Към този цилиндър са прикрепени два по-малки цилиндъра с радиус $r$ , които се движат по релси, както е показано на схемата ( $r < R$ ). Когато дърпам връвта назад, играчката се движи напред. Да се приеме, че триенето е достатъчно голямо, така че няма приплъзване. Ако искам играчката да се премести напред на разстояние $d$ , на какво разстояние $d_{\mathrm{назад}}$ трябва да дръпна връвта назад? [2,5 т.]

Четири изгледа на играчката — навитата връв с посоки на движение, два странични изгледа на цилиндрите върху релсите и напречно сечение с означени радиуси R и r. — Играчката: голям цилиндър с радиус $R$ с навита връв и два малки цилиндъра с радиус $r$ , търкалящи се по релсите; стрелките показват посоката на движение на играчката и на връвта.

Отговори

Решение

1.1. Използваме златното правило на механиката или се аргументираме, чрез формулата: $F_1 . l_1 = F_2 . l_2$ . [0,5 т.]

Тогава получаваме:

20 \cdot \frac{4}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3{,}5}{1{,}5} = 124{,}(4) \cong 124\ kg

[0,5 т.]

1.2. Намираме обема:

V = L . w . d = 800 mm . 200 mm . 30 mm = 4,8 . 10⁶ mm³. [0.5 т.]

Намираме масата:

$m_{\mathrm{д}}$ = ρ . V = 0,0005 g/mm³ . 4,8 . 10⁶ mm³ = 2400 g = 2,4 kg. [0.5 т.]

Теглото на дъската се държи от системата макари. От диаграмата се вижда, че товарът (дъската) се държи от 4 сегмента на въжето (система от 2 подвижни макари). Това дава механична предимство (печелим сила) 4 пъти. [0.5 т.]

Силата на опън F, необходима за задържане на дъската, е F = P $_{\mathrm{дъска}}$ / 4 = m $_{\mathrm{дъска}}$ / 4. Тази сила се осигурява от товара A, който минава през една неподвижна макара (която само променя посоката, но не и размера на силата). Следователно:

m $_A$ = m $_{\mathrm{дъска}}$ / 4 = 2,4 kg / 4 = 0,6 kg. [0.5 т.]

1.3. Прилагаме "златното правило": F . s = P . h , където s е хоризонталният ход на клина, а h е вертикалното повдигане на блока. [0.5 т.]

От геометрията на клина (от дадената фигура на ъгъл от 15 градуса) виждаме, че вертикално издигане от 4 дължини съответства на хоризонтално преместване от 15 ширини. [0.5 т.]

Следователно достигаме до следната зависимост:

h = s \cdot \frac{4}{15}

[0,5 т.]

Заместваме: $F . s = P . h = P . s . \frac{4}{15} \implies F = P . \frac{4}{15} = 1200 . \frac{4}{15} = 320\ N$ [0,5 т.]

1.4. Зъбното колело A се опира до малкия венец на B. За един час 1 прави едно завъртване, тоест за един час 60 зъби се задвижват от малкия венец B. [0,5 т.]

Но малкият венец на B има 15 зъби, тоест той прави 4 обиколки за един час. [0,5 т.]

Това означава, че 4.45 = 180 зъби се задвижват в малкия венец на C. [0,5 т.]

Но той има също 15 зъби, следователно прави 180 / 15 = 12 оборота за един час. [0,5 т.]

Следователно един оборот прави за 60 / 12 = 5 минути. [0,5 т.]

1.5. Най-лесният начин да решим задачата е да си представим, че играчката прави точно едно пълно завъртане напред. Играчката се движи напред, защото малките ѝ колела (с радиус r) се търкалят по релсите. При едно пълно завъртане, тя ще измине разстояние, равно на обиколката на малкото колело.

Път напред $d = 2 . \pi . r$ [0,5 т.]

В същото време връвта се развива от големия цилиндър (с радиус R). При едно пълно завъртане се развива връв, дълга колкото обиколката на големия цилиндър.

d_{\mathrm{връв}} = 2 . \pi . R

[0,5 т.]

Разликата между развитата връв и движението напред е разстоянието, което е преминала ръката, докато дърпа връвта назад:

d_{\mathrm{назад}} = d_{\mathrm{връв}} - d = 2 . \pi . R - 2 . \pi . r = 2 . \pi (R - r)

[0,5 т.]

За да обобщим резултата нека да разделим на дължината, която се изминава напред:

\frac{d_{\mathrm{назад}}}{d} = \frac{2 . \pi (R-r)}{2 . \pi . r} = \left(\frac{R}{r} - 1\right)

[0,5 т.]

d_{\mathrm{назад}} = \left(\frac{R}{r} - 1\right) d

[0,5 т.]

Оригинал в Архива: esenni_2026_7problems.pdf · официални решения: esenni_2026_7solutions.pdf