Съдържание

НЕСФ 2025, 9. клас — Задача 3. Система от тела

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2025

Есенно национално състезание по физика, трета възрастова група (IX клас), 2025/2026 г, София · 7 ноември 2025 г. · 10 т.

Условие

Върху гладка хоризонтална опора (Фиг. 3.1) е поставена система от тела (дървени трупчета), показана на чертежа. Телата с маси $m$ са свързани с безтегловна, неразтеглива нишка. Коефициентите на триене между телата с маси $m$ и $M$ е равен на $k$ . На дясното трупче с маса $M$ действа постоянна, хоризонтална сила $F$ .

А) Намерете ускоренията на телата от системата в случай, че всички тела имат едно и също ускорение $a$ . При каква гранична стойност на силата $F$ това е възможно ( $F_{\text{кр}} \le ?$ ). [4 т.]

Б) Намерете ускоренията на телата от системата и силата на опън $T$ на нишката в случай, че силата $F \ge F_{\text{кр}}$ . [6 т.]

Моля да използвате следните обозначения в решението си:

$M$ – маса на големите трупчета; $m$ – маса на малките

$a_1$ – ускорение на лявото голямо тяло $M$

$a_2$ – ускорение на дясното голямо тяло $M$

$a$ – ускорение на малките тела (те са свързани помежду си и имат една и съща скорост/ускорение)

$T$ – сила на опъване в нишката

$f_\ell$ – сила на триене между лявото $m$ и съответното $M$

$f_r$ – сила на триене между дясното $m$ и съответното $M$

Решение

А) Ускорението на телата $a_1 = a_2 = a$ (движат се като едно цяло)

Прилагаме втори закон на Нютон:

$a = \dfrac{F}{2(m+M)}$ (1) (1 т)

За да е възможно това трябва:

$f_l < kmg;\ f_r < kmg$ (1 т)

$f_l = M.a$ (0,5 т)

$f_r = (M + 2m).a$ (2) (0,5 т)

След заместване в (2) уравнение (1) и $f_r = kmg$ се получава условието за критична стойност на силата $F$ :

$F < F_{\text{кр}} = \dfrac{2kmg(m+M)}{2m+M}$ (1 т)

Б) При $F > F_{\text{кр}}$ дясното $m$ приплъзва върху $M$ , а лявото $m$ – не.

Лявото $m$ и $M$ се движат заедно с ускорение $a_1$ . В този случай дясното $m$ има ускорение $a_2$ и приплъзва върху $M$ . Между дясното $m$ и голямото $M$ силата на триене е $f_r = kmg$ . Дясното $M$ има различно ускорение от $a_2$ .

За ляво $M$ : $Ma = f_l$ (1) (0,5 т)

За ляво $m$ : $ma = T - f_l$ (2) (0,5 т)

За дясно $m$ (плъзга се): $ma = f_r - T$ , като ( $f_r = kmg$ ) (3) (0,5 т)

За дясно $M$ : $Ma_2 = F - f_r = F - kmg$ (4) (0,5 т)

Събираме уравнения (2) и (3):

$2ma = f_r - f_l = kmg - f_l$ (0,5 т)

$f_l = kmg - 2ma$ , но $f_l = Ma$ (0,5 т)

Окончателно за ускорението за двете малки $m$ и лявото $M$ се получава:

$a = \dfrac{kmg}{2m+M}$ (1 т)

Силата на опън е:

$T = kmg - ma$ (0,5 т)

$T = kmg\,\dfrac{m+M}{2m+M}$ (0,5 т)

Следователно ускорението за дясно $M$ :

$a_2 = \dfrac{F - kmg}{M}$ (0,5 т)

Лявото $m$ да не се плъзга: $f_l = Ma = M.kmg/(2m + M) < kmg$ . Последното винаги е изпълнено, т.е. винаги ляво $m$ и $M$ се движат заедно като „залепени“ (0,5 т).

Оригинал в Архива: esenni_2026_9problems.pdf · официални решения: esenni_2026_9solutions.pdf · допълнителни данни: errata.txt