НЕСФ 2025, 12. клас — Задача 3. Лещи

• а) $x = \frac{20}{3} \approx 6{,}7\ \mathrm{cm}$
• б) $y = \frac{100}{3} \approx 33{,}3\ \mathrm{cm}$
• в) $d' = 20\ \mathrm{cm}$

а) Нека използваме обратимостта на лъчите. [0,3 т.] Тогава успореден сноп идва отдясно на леща 3. Той се събира във фокуса ѝ. [0,4 т.] Тъй като $\Phi_+ = +5$ dpt, то фокусното ѝ разстояние е $f_3 = \dfrac{1}{\Phi_+} = 20$ cm. [0,4 т.] Този образ е източник за леща 2, но ѝ е отляво на 10 cm. [0,4 т.] От формулата за тънка леща 2 следва $\dfrac{1}{-10\ \mathrm{cm}} + \dfrac{1}{b} = \dfrac{1}{-20\ \mathrm{cm}}$, [0,4 т.] откъдето $b = 20$ cm. [0,4 т.] Следователно този образ е на 10 cm вляво от леща 1. [0,4 т.] Отново използвайки формулата за тънка леща 1 следва $\dfrac{1}{-10\ \mathrm{cm}} + \dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{20\ \mathrm{cm}}$, [0,4 т.] откъдето $x = \dfrac{20}{3} \approx 6{,}7$ cm. [0,4 т.]

б) Отново използвайки обратимостта на лъчите може да стигнем до извода, че след като източникът и последният образ са разположени симетрично на едно и също разстояние съответно от лещи 1 и 3, то и източникът и образът за леща 2 също са разположени симетрично спрямо нея. [0,5 т.] Тъй като не може и двата да са действителни (падащият сноп да е разходящ, а пречупеният да е сходящ), следва че и двата са недействителни (падащият сноп да е сходящ, а пречупеният да е разходящ). [0,5 т.] Нека те се намират на разстояние $z$ от нея. Тогава $\dfrac{1}{-z} + \dfrac{1}{-z} = \dfrac{1}{-20\ \mathrm{cm}}$, [0,5 т.] откъдето $z = 40$ cm. [0,5 т.] Това означава, че образът от леща 1 е на 50 cm зад нея. [0,5 т.] Тогава $\dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{50\ \mathrm{cm}} = \dfrac{1}{20\ \mathrm{cm}}$, [0,5 т.] откъдето $y = \dfrac{100}{3} \approx 33{,}3$ cm. [0,5 т.]

в) Може да се провери, че ситуация със симетрично разположени източник и образ спрямо леща 2 е невъзможна тъй като фокусното разстояние на лещи 1 и 3 е по-малко от 40 cm. [1,0 т.] Тогава единствената възможност остава източникът и образът за леща 2 да съвпадат с нейния център. [1,0 т.] Тогава разстоянието между лещите трябва да е равно на фокусното разстояние на лещи 1 и 3, т.е. $d' = 20$ cm. [1,0 т.]