Съдържание

НЕСФ 2025, 7. клас — Задача 3. Вода и ток

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2025

Национално есенно състезание по физика 2025, тема за I състезателна група (7. клас) · 7 ноември 2025 г. · 10 т.

Условие

Задачи 3.1 и 3.2 са независими една от друга.

3.1 Вертикален затворен цилиндър с вътрешен радиус $r = 1{,}85$ cm е напълнен с вода. Във водата плава играчка с форма на кълбо с радиус $a = 1$ cm. Играчката е направена от гъвкава мембрана, пълна с въздух. Масата на играчката е $m = 1$ g. Отгоре на цилиндъра има плътно прилепващо бутало, което можем да натискаме надолу на разстояние $x$ . Водата се счита за несвиваема, в цилиндъра няма други въздушни мехури освен въздуха вътре в играчката. Когато натиснем буталото надолу, обемът на въздуха в играчката намалява, като при определено $x$ играчката започва да потъва.

Два вертикални цилиндъра с вода и бутало отгоре; в левия играчката плава по-високо, в десния буталото е натиснато и играчката потъва (стрелка надолу). — Цилиндърът с вода и играчката преди натискане на буталото (вляво) и в момента, в който играчката започва да потъва (вдясно).

На какво максимално разстояние $x$ (в милиметри) можем да натиснем буталото, преди играчката да започне да потъва?

Дадено: плътност на водата $\rho_{\mathrm{в}} = 1000$ kg/m $^3$ ; $V_{\mathrm{кълбо}} = \frac{4}{3}\pi r^3$ [5 т.]

Схема а): амперметър последователно с R, волтметърът е свързан паралелно на R. Схема б): амперметърът е последователно с R, волтметърът е свързан към клемите на източника. — Двете схеми за измерване на неизвестното съпротивление R: схема а) и схема б).

3.2. За измерване на неизвестно съпротивление R се използват схемите от фигурата. Източникът е идеален с напрежение $U_{\mathrm{бат}}$ . При измерванията са отчетени следните стойности:

По схема а): I' = 1,004 A и U' = 9,99 V.
По схема б): I'' = 1,000 A и U'' = 12,0 V.

Намерете:

а) напрежението на батерията $U_{\mathrm{бат}}$ ; [0,5 т.]

б) вътрешното съпротивление на амперметъра $R_A$ ; [1,5 т.]

в) неизвестното съпротивление R; [1,5 т.]

г) вътрешното съпротивление на волтметъра $R_V$ . [1,5 т.]

Бележка: В теорията често приемаме, че измервателните уреди са идеални, тоест не влияят на електрическата верига, в която са включени. Идеалният амперметър има нулево вътрешно съпротивление и не предизвиква спад на напрежение, когато през него протича ток, а идеалният волтметър има безкрайно голямо вътрешно съпротивление и не пропуска ток през себе си. На практика обаче такива уреди не могат да се направят – всеки реален амперметър и волтметър имат свое вътрешно съпротивление, което леко влияе на измерванията. Вътрешното съпротивление на амперметъра е малко и е свързано последователно в схемата, а това на волтметъра е голямо и е свързано паралелно към елемента, чието напрежение се измерва.

Отговори

Решение

3.1 [5 т.]

Критерият за потъване е плътността на играчката да се изравни с тази на водата:

\rho_{\mathrm{игр}} \ge \rho_{\mathrm{в}} \Rightarrow V_{\mathrm{кр}} = m_{\mathrm{игр}}/\rho_{\mathrm{в}} = 1.00\ \mathrm{cm}^3.

[1 т.]

Началният обем на играчката е:

V_0 = \frac{4}{3}\pi a^3 = \frac{4}{3}\pi (1{,}00)^3 \cong 4{,}19\ \mathrm{cm}^3.

[1 т.]

Разликата в обемите на играчката преди да потъне:

\Delta V = V_0 - V_{\mathrm{кр}} \cong 3{,}19\ \mathrm{cm}^3.

[1 т.]

Понеже водата е несвиваема, то следва че промяната в обема, причинена от движението на буталото, ще бъде равна на промяната в обема на играчката. Площта на сечението на буталото е:

A = \pi r^2 = \pi (1{,}85)^2 \cong 10{,}745\ \mathrm{cm}^2.

[1 т.]

Следователно отместването на буталото ще бъде:

x = \Delta V / A \cong 3{,}19/10{,}745 \approx 0{,}296\ \mathrm{cm} = 2.96\ \mathrm{mm}

[1 т.]

Приемат се отговори от 2,9 mm до 3,0 mm.

3.2 [5 т.]

Схема а): амперметър с последователно R_A, след което R паралелно на R_V. Схема б): R_A последователно с R, а R_V е свързано към клемите на източника. — Еквивалентните схеми а) и б) с явно показани вътрешни съпротивления $R_A$ на амперметъра и $R_V$ на волтметъра.

а) От схема б) волтметърът измерва директно напрежението на идеалния източник:

U_{\mathrm{бат}} = U'' = 12{,}0\ \mathrm{V}

[0,5 т.]

б) По схема а) :

\varepsilon = U' + I'R_A \Rightarrow R_A = \frac{\varepsilon - U'}{I'}.

[1 т.]

R_A = \frac{12{,}0 - 9{,}99}{1{,}004} \cong 2{,}00\ \Omega

[0,5 т.]

в) По схема б:

I'' = \frac{U''}{R_A + R} \Rightarrow R_A + R = \frac{U''}{I''} \Rightarrow R = \frac{U''}{I''} - R_A

[1 т.]

От а) $R_A \cong 2.0$

R = 12{,}0 - 2{,}0 = 10{,}0\ \Omega

[0,5 т.]

г) От схема а) еквивалентното съпротивление на R и $R_V$ може да го изразим като:

R_{par} = \frac{U'}{I'} \cong 9{,}95\ \Omega

[0,5 т.]

От друга страна:

\frac{1}{R_{par}} = \frac{1}{R} + \frac{1}{R_V} \Rightarrow \frac{1}{R_V} = \frac{1}{R_{par}} - \frac{1}{R} \Rightarrow \frac{1}{R_V} = \frac{R - R_{par}}{R \cdot R_{par}} \Rightarrow R_V = \frac{R \cdot R_{par}}{R - R_{par}}

[0,5 т.]

Вече намерихме R и $R_{par}$ :

R_V = \frac{10 \cdot 9{,}95}{10 - 9{,}95} = \frac{99{,}5}{0{,}05} = 1990\ \Omega

[0,5 т.]

Приемат се отговори 1990 Ω $\pm$ 1%

Оригинал в Архива: esenni_2026_7problems.pdf · официални решения: esenni_2026_7solutions.pdf